Ganzrationale Funktionen, Gleichung bestimmen, wer kann helfen?

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4 Antworten

P (x₁ = 0 | y₁ = 5)         Q (x₂ = 1 | y₂ = a+5 )

a) Mit der Zweipunkteform erhalte ich die Gleichung der Geraden (das ist ein Plural, denn a ist ein Parameter für ein ganzes Geradenbüschel).

(y - y₁) / (x - x₁)  =  (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)    ergibt eingesetzt:

(y - 5) / x  =  (a + 5 - 5) / 1      | *x
   y - 5      =  ax
         y     =  ax + 5         Das ist die Gleichung

Wenn man das x der Punkte eingibt, kommt das jeweilige y heraus. Die Punkte liegen also auf dem Geradenbüschel. 

Sinn der Sache ist, dass man mit Geradenbüscheln und Kurvenscharen gemeinsame Eigenschaften von unendlich vielen Figuren derselben Bauart herausarbeiten kann.

b) Damit etwas die x-Achse bei 8 schneidet, setze ich x = 8. Wenn die x-Achse geschnitten werden soll, ist das eine Nullstelle, also y = 0

8a + 5 = 0
        a = -5/8

Damit weiß ich, dass eine Gerade des Büschels mit dem Parameter 
a = -5/8  die x-Achse bei x = 8 schneidet.
Diese Gerade heißt:   y = -5/8 x + 5

c) Noch eine Eigenschaft ist angefordert: a soll so beschaffen sein, dass eine Gerade des Büschels die x-Achse gar nicht schneidet.

Eine Parallele zur x-Achse schneidet diese nicht. Alle Parallelen zur x-Achse haben die Steigung 0, daher wäre hier a = 0 zu setzen.
So ist für a = 0 eine Gerade des Büschels vorhanden, die die x-Achse nicht schneidet. (Im Effekt ist es y = 5)

Andere Parallelen schneiden die x-Achse zwar auch nicht, aber sie gehören auch nicht zu dem Geradenbüschel.


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Kommentar von Volens
12.10.2016, 02:25

Eine weitere gemeinsame Eigenschaft wäre, dass alle Geraden die y-Achse bei 5 schneiden.

0

Du hast zwei Punkte gegeben, also kannst du diese einfach einsetzen, um die Funktionsgleichung (in Abhängigkeit von a) zu bestimmen:

f(x) = mx + t

A einsetzen:

a + 5 = m + t ⇔ m = a + 5 - t

f(x) = (a + 5 - t)x + t
      = ax + 5x - tx + t

B einsetzen:

5 = t

Somit: m = a + 5 - t = a + 5 - 5 = a

m = a

Also:

f(x) = mx + t = ax + 5

Wenn f bei x = 8 eine Nullstelle haben soll, muss f(8) = 0 sein.

Also:

0 = 8a + 5 ⇔ a = -5/8

Wenn f die x-Achse nicht schneidet, ist f parallel zur x-Achse und die Steigung beträgt null. Dies ist für a = 0 der Fall.

LG Willibergi

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Kommentar von cHEMPion91
12.10.2016, 01:48

 = ax + 5x - tx + t bis hierhin verständlich, ausgeklammert.

Aber wie kommt man auf t=5? 

B einsetzen:

5 = t

0

Hast Du 2 Punkte, dann kannst Du die Steigung m ermitteln, indem Du die Differenz der y-Werte durch die der x-Werte teilst, also hier m=(a+5-5)/(1-0)=a. Den y-Achsenabschnitt erkennst Du direkt am Punkt B. Also ist f(x)=ax+5.

Bei b) soll die Nullstelle bei x=8 sein, also Format Du f(8)=0 nach a um.

c) ist korrekt. Die einzigen Geraden ohne Nullstelle sind die, die parallel zur x-Achse laufen. Damit das der Fall ist, muss die Steigung Null sein.

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Falls du eines Tages weiter bist in Mathe und mit Vektoren umgehen kannst, lässt sich das Ganze eleganter mit Vektoren lösen.

Erst mal den Vektor AB definieren:
AB=(0-1,5-(a+5))=(-1,-a)
bzw. der Vektor BA=(1,a) (einfach weil er hübscher als AB ist)

a) g(t)=A+t*BA
b) "schneidet die x-Achse in x=8"=
Punkt P=(8,0) liegt auf der Geraden
-> g(t)=(8,0) setzen. Gucken für welches a  (das t ist unwichtig) das erfüllt ist.

c)"Schneidet x-Achse" <=> es existiert ein zu bestimmendes a, sodass es einen Punkt Q=(x,0) gibt mit Q=g(t)
Setz einfach (x,0)=g(t) und guck ob es irgendein a gibt sodass sich die Gleichung erfüllen lässt.

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