f(x) = -x^2+4; g(x)= 3 Bestimmen sie den Inhalt der Fläche, die durch die x Achse und die Graphen der funktionen f und g eingeschlossen wird.?

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4 Antworten

Es gibt mehrere Möglichkeiten.

Da Du Dir ja schon die Graphen angesehen hast, siehst Du, dass die gesuchte Fläche die der Parabel (innerhalb der Nullstellen) entspricht minus dem durch g(x) abgeschnittenen "Kopf". Zudem sind die Flächen links und rechts der y-Achse gleich groß, da beide Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

Entweder berechnest Du das Integral von f(x) in den Grenzen der Nullstellen (oder 0 bis Nullstelle, dann mal 2) minus Integral von f(x)-g(x) in den Grenzen der Schnittstellen der beiden Funktion (oder 0 bis Schnittstelle, dann wieder mal 2).

Oder Du berechnest das Integral von g(x) von 0 bis Schnittstelle und das Integral von f(x) von Schnittstelle bis Nullstelle, das ganze dann mal 2.

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Hallo,

ich würde zunächst das Integral von f(x)=-x²+4 in den Grenzen von 0 bis 2 berechnen (Nullstellen) und davon das Integral von h(x)=-x²+1 in den Grenzen von 0 bis 1 abziehen. Das ist das Stück, was bei f(x) über g(x)=3 hinausragt, bzw. die Hälfte davon, weil Du nur von x=0 bis zur rechten Nullstelle integierst.

Das Ergebnis mußt Du dann natürlich verdoppeln, weil Du ja die Fläche zu beiden Seiten der y-Achse brauchst.

h(x)=-x²+1 ist die um drei Einheiten nach unten verschobene ursprüngliche Parabel. Deren Integral entspricht dann der Fläche, die oberhalb von x=3 bis zum Scheitelpunkt von -x²+4 geht.

Also: -(1/3)x³+4x|x=0 bis x=2=-8/3+8=16/3

Davon abziehen: -(1/3)x³+x| x=0 bis x=1=-1/3+1=2/3

16/3-(2/3)=14/3

14/3*2=28/3

Auf dem beigefügten Bild siehst Du, daß die Fläche oberhalb von y=3 die gleiche ist wie die oberhalb der x-Achse unter h(x)=-x²+1

Durch den Trick mit dem Verschieben der Parabel um 3 Einheiten nach unten sparst Du Dir das Bilden einer Umkehrfunktion.

Herzliche Grüße,

Willy

Skizze - (Schule, Mathe, Mathematik)
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Die Fläche berechnest du mit dem Integral. gib die Funktionen mal in den Taschenrechner ein, und immer wenn eine Funktion über der x-Achse ist berechnest du mit dem bestimmten Integral die Fläche unter der Kurve (Integral = Fläche unter der Kurve) 

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Mach dir doch erst mal eine Skizze, wie die beiden Funktionen aussehen

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Kommentar von MAK1234
09.06.2016, 11:03

hab ich bereits

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