Funtionsgleichung aufstellen 7.Grades?

3 Antworten

Kann man das ganze nicht auch über das lineares Gleichsetzungssystem machen

Dort muss man ja von hinten nach vorne arbeiten in dem man das h raus subtrahiert

und so weiter ...

F(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h

F(1)=1.1 a+b+c+d+e+f+g+h=1.1

F(2)=1.2 ......

...

F(8)=1.8 ......

zumindest funktioniert das ja beim 3. Grad richtig gut und einfach noch dazu, nur wie sieht das dann bei einer Funtion 7. Grades aus? wie schon gefragt jede Funktion mit jeder ? Oder dürfen die Funktionen nur maximal einmal miteinanderverechnet werden?

Also wenn du insgesamt 8 Punkte vorgibst, so ist das Polynom nach dem Fundamentalsatz der Algebra eundeutig bestimmbar. Seien also:

F(x(i)) = y(i)  mit i aus {1, ... , 8} bekannt.

Die Funktionsgleichung lässt sich nun direkt ohne große Rechnung angeben zu:

F(x) = [y(1)(x - x(2))(x - x(3))(x - x(4))*...*(x - x(8))] / [(x(1) - x(2))(x(1) - x(3))*...*(x(1) - x(8))] + ... +
[(x - x(1))(x - x(2))(x - x(3))(x - x(4))*...*(x - x(7))*y(8)] / [(x(8) - x(1))(x(8) - x(2))*...*(x(8) - x(7))]

Einsetzen aller Werte für x(i) und y(i) Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert dann das gesuchte Polynom in der Form:

F(x) = ax^7 + ... + hx + g

Betrachte dazu einfach mal folgende Artikel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

(Speziell von Interesse, was hier auch benutzt wurde ist der Abschnitt: "Lagrangesche Interpolationsformel" )

Du wirst 8 Punkte (und somit 8 Gleichungen) brauchen, um eine eindeutige Funktion bestimmen zu können. Dazu wirst Du nach und nach aus den "unteren" Gleichungen eine Variable nach der anderen eliminieren müssen, bis letztendlich in der letzten Gleichung nur noch eine Variable übrig bleibt. Nachdem diese letzte Variable dann ihren bestimmten Wert hat, musst Du "rückwärts" alle übrigen Unbekannten ermitteln.

ich muss aber dann alle Gleichungen mit einbeziehen oder

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@FelixFeuerdorn

Du wirst aus allen unteren Gleichungen erst einmal das a eliminieren müssen; dann ab der dritten Gleichung überall das b; somit wirst Du letztendlich eine Treppenform erhalten:

(I) a+b+c+d+e+f+g+h=1,1

(II) .?b+?c+?d+?e+?f+?g+?h=?

(III) ......?c+?d+?e+?f+?g+?h=?

...

(VIII) ................................ ?h=?

Das ? steht für die entsprechenden Koeffizienten. Jetzt kannst Du in (VIII) das h ausrechnen und dann in die vorherigen einsetzen. In (VII) kannst Du dann g ausrechnen, usw.

(Wird leider nicht so dargestellt wie ich es vorhatte; der neuen Version "sei dank")

0

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f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e => ax^4+cx^2+e
f‘(x)=4ax^3+2cx

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(2) Extremum (2| ) f‘(x)= 32a+4c=0
(3) P(2|0) f(2)=16a+4c+e=0
(4)
(5)

Danke im voraus

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