Funktionsvorschrift soll in Partialbrüche der Form F(x)=A/x+1 +B/(x+1)^2 +C/(x+1)^3 +D/(x+1)4 zerlegt werden...?

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4 Antworten

Hallo,

(5x³+8x²+3x+1)/(x+1)^4=A/(x+1)+B/(x+1)²+C(x+1)³+D/(x+1)^4

Die rechte Seite der Gleichung bringst Du nun auf den gleichen Nenner wie die linke, nämlich auf (x+1)^4. Dazu multiplizierst Du die einzelnen Terme mit dem, was ihrem eigenen Nenner noch zum Hauptnenner fehlt.

A hat als Nenner (x+1). Um auf (x+1)^4 zu kommen, muß mit (x+1)³ erweitert werden, also A*(x+1)³

Entsprechend erweiterst Du B mit (x+1)² und C mit (x+1). D hat bereits (x+1)^4 als Nenner und muß nicht mehr erweitert werden.

So bekommst Du auf der rechten Seite der Gleichung folgendes:

[A*(x+1)³+B*(x+1)²+C*(x+1)+D]/(x+1)^4

Das soll gleich (5x³+8x²+3x+1)/(x+1)^4 sein.

Da Du nun auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Nenner hast, reicht es, die Zähler gleichzusetzen:

5x³+8x²+3x+1=A*(x+1)³+B*(x+1)²+C*(x+1)+D

Die rechte Seite multiplizierst Du aus:

A*(x³+3x²+3x+1)+B*(x²+2x+1)+Cx+C+D

Ax³+3Ax²+3Ax+A+Bx²+2Bx+B+Cx+D

Nun klammerst Du auf der rechten Seite alles mit x aus:

x³*A+x²*(3A+B)+x*(3A+2B+C)+A+B+C+D

Nun vergleichst Du dies mit der linken Seite, also mit
5x³+8x²+3x+1

x³ kommt rechts nur mit A verbunden vor, folglich muß A=5 sein.

x² ist verbunden mit 3A+B, das heißt, 3A+B muß gleich 8 sein, denn die 8 steht links vor dem x²

Da Du bereits weißt, daß A=5 ist, kannst Du diese Zahl natürlich sofort einsetzen:

3*5+B=8

15+B=8

B=8-15=-7

Bei x steht links eine 3, rechts 3A+2B+C

Also muß 3A+2B+C=3 sein.

Für A setzt Du wieder die 5 ein, für B die -7:

15-14+C=3

C=3-1=2

Bleibt noch A+B+C+D auf der rechten Seite übrig, das muß der Zahl ohne x auf der linken Seite entsprechen, also der 1:

A+B+C+D=1

Die ermittelten Werte für A, B und C einsetzen:

5-7+2+D=1

0+D=1

D=1

Nun kannst Du 5x³+8x²+3x+1 als 
5/(x+1)-7/(x+1)²+2/(x+1)³+1/(x+1)^4 aufschreiben. Beides ist gleich, was Du leicht feststellen kannst, indem Du den zweiten Ausdruck wieder auf den Nenner (x+1)^4 bringst. Dann nämlich kommst Du wieder auf die ursprüngliche Form.

Herzliche Grüße,

Willy


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Kommentar von MaVeO1
16.09.2016, 19:31

(Vielen vielen dank)^1000 

Bist der Beste, und danke für die mühe.

mfg mave

1
Kommentar von Willy1729
20.09.2016, 16:54

Vielen Dank für den Stern.

Willy

0

Hinweis: stelle den Zähler als Taylor-Reihe um -1 dar. Dann lass dir was einfallen.

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Kommentar von Willy1729
16.09.2016, 19:45

Auch nicht schlecht; ich kann mir aber nicht vorstellen, daß der Fragesteller dieses Verfahren kennt - es müßte also genauer erklärt werden. Ich glaube aber fast, daß Dein Verfahren schneller zum Ziel führt. Jedenfalls kam es mir so vor, als ich es durchgerechnet habe.

Willy

1
Kommentar von kreisfoermig
16.09.2016, 20:27

Hier der kürzere Ansatz:

Darzustellen ist F = p / (x+1)⁴ = p / (x – -1)⁴, wobei p = 5x³+8x²+3x+1.

SCHRITT 1. Man stelle den Zähler, p, als Taylor-Reihe dar: p = ∑c[n]·(x – -1)ⁿ. Da links ein Polynom 3. Grades steht gilt c[n] = 0 für n≥4. Es gilt außerdem allgemein c[n] = p⁽ⁿ⁾(-1) / n!.

Man berechnet also nur die ersten 3 Ableitungen und zwar im Punkt -1:

n p⁽ⁿ⁾(x) p⁽ⁿ⁾(-1) c[n]=p⁽ⁿ⁾(-1)/n!
============================================
0 5x³+8x²+3x+1 1 1/0! = 1
1 15x²+16x+3 2 2/1! = 2
2 30x+16 -14 -14/2! = -7
3 30 30 30/3! = 5

SCHRITT 2. Die Taylor-Reihe von dem Zähler p ist also:

p(x) = ∑c[n]·(x – -1)ⁿ
= ∑c[n]·(x+1)ⁿ
= 1·(x+1)⁰ + 2·(x+1)¹
+ -7·(x+1)² + 5·(x+1)³

SCHRITT 3. Eingesetzt in F erhält man

F(x) = p(x)/(x+1)⁴
= (1+2(x+1)–7(x+1)²+5(x+1)³) / (x+1)⁴
= 1/(x+1)⁴+2/(x+1)³–7/(x+1)²+5/(x+1)

Die Koeffizienten kannst du jetzt ablesen:

A = 5; B = -7; C = 2; D=1.

Das stimmt mit [Willy1729]’s Lösung überein.

3

fehlt da ne Klammer?

soll das alles auf den Bruchstrich 5x³+...........

oder nur die 1 ?

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Hier nochmal als Foto... :)

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