Wie kann ich eine Funktionsgleichung aus nur 2 Punkten bestimmen?

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5 Antworten

Die einzigen Funktionen, mit denen man das machen kann, sind lineare, also Geraden.
Alle höhergradigen können nur dann mit zwei Punkten bestimmt werden, wenn Sondereigenschaften festgelegt sind. z.B. bei einer quadratischen Parabel, dass sie eine Normalparabel ist. Bei einer kubischen brauchen wir gleich zwei Festlegungen, die das Bild einschränken.
Die Art der Einschränkungen ist egal, sie muss nur der Anzahl der fehlenden Punkte entsprechen.

Die Anzahl der notwendigen Punkte (oder anderer Angaben) ist immer 1 mehr als der Grad der Funktion.

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Es kommt auf die Anzahl an freien Parametern an.

Du setzt einfach beide Punkte (d. h. x- und y-Werte) in die allgemeine Form ein und löst das Gleichungssystem, um die Parameter zu bestimmen.

Beispiel:

f(x) = ae^x + b

P(0|3), Q(ln(2)|5)
1) 3 = ae^0 + b
2) 5 = ae^(ln(2)) + b
2-1:
2 = 2a-a
2 = a
a in 1:
3 = 2e^0 + b | -2
b = 1
f(x)= 2e^x + 1

Wie Du an den anderen Antworten gemerkt hast, gibt es sowohl Vorschläge für eine lineare Funktion als auch für eine Exponentialfunktion.

Gemeinsam haben diese Antworten, dass sie mit einer Funktion arbeiten, die zwei Parameter enthält (weil Du zwei Punkte gegeben hast).
Somit wird sich eine Funktion i.A. immer dann eindeutig bestimmen lassen (sofern sich die Angaben nicht widersprechen), wenn Du genau so viele Informationen vorliegen hast, wie die Funktion freie Parameter enthält. Mit zwei Punkten könntest Du also auch andere Funktionstypen bestimmen, z.B. eine trigonometrische Funktion wie s(x) = a·sin(x)+b oder c(x) = a·cos(d·x).

Hat Dein allgemeiner Funktionsterm mehr Parameter, als Du Bedingungen hast, bleiben nach Auswertung der Bedingungen ein oder mehrere Parameter in Deiner Funktion stehen. Dann hast Du nicht nur eine Lösung, sondern unendlich viele Möglichkeiten. Formal wäre das eine Funktionenschar.

Du kannst eine lineare Funktion bestimmen. Setz in y=mx+b für x und y deine Punkte ein. Löse das Gleichungssystem nach m und b auf. Schon kannst du m und b als Zahlenwerte in die Gleichung ei setzen und hast eine lineare Gleichung.

Wie schon gesagt NUR LINEARE FUNKTIONEN können dadurch vollständig definiert werden...

[ p1 :  punkt 1(Vektorform)  ] 

[a : Variable]

Vektorform der gerade aus 2 punkten (p1  p2) :

f(x) = (p1) + a* (p1-p2)

die normale gerade aus 2 punkten (f(x)= a*x+b) ,kannst du einfach googeln, das erklären andere besser...

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