Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Normalform?

2 Antworten

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Gleichungssystem :

I.) a * (0) ^ 2 + b * (0) + c = 3

II.) a * (3) ^ 2 + b * (3) + c = 81

III.) a * (-2) ^ 2 + b * (-2) + c = 21

Lösung :

a = 7 und b = 5 und c = 3

f(x) = 7 * x ^ 2 + 5 * x + 3

Ja wie kommst du denn darauf

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@hilfemathe12

Die Normalform sieht so aus :

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

bzw.

a * x ^ 2 + b * x + c = y

Du hast Punkte erhalten, die haben die Form P(x | y)

Für das x setzt du das x aus dem jeweiligen Punkt ein und für y das y aus demselben Punkt und erhältst dann das Gleichungssystem :

I.) a * (0) ^ 2 + b * (0) + c = 3

II.) a * (3) ^ 2 + b * (3) + c = 81

III.) a * (-2) ^ 2 + b * (-2) + c = 21

Das kann du vereinfachen :

I.) 0 * a + 0 * b + c = 3

II.) 9 * a + 3 * b + c = 81

III.) 4 * a - 2 * b + c = 21

Das kannst du weiter vereinfachen :

I.) c = 3

II.) 9 * a + 3 * b + c = 81

III.) 4 * a - 2 * b + c = 21

c aus I.) kannst du sofort in II.) und III.) einsetzen :

II.) 9 * a + 3 * b + 3 = 81

III.) 4 * a - 2 * b + 3 = 21

Daraus kannst du ein verkleinertes Gleichungssystem aufbauen :

I.) 9 * a + 3 * b = 78

II.) 4 * a - 2 * b = 18

II.) multipliziere ich mit 1.5

II.) 6 * a - 3 * b = 27

Nun addiere ich I.) und II.) miteinander :

15 * a = 105

a = 7

Nun  setze ich a in I.) ein :

I.) 9 * 7 + 3 * b = 78

I.) 63 + 3 * b = 78

I.) 3 * b = 15

b = 5

c kannten wir schon :

c = 3

Ich hoffe das reicht jetzt, noch ausführlicher kann ich es langsam nicht mehr erklären, sorry.

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@DepravedGirl

Anmerkung :

Ich spiele jetzt mal Moralpredigerin / Moralapostelin, was gar nicht zu mir passt ;-)) , und sage dir "Fange nächstes mal nicht einen Tag vor der Mathearbeit mit dem lernen an, sondern viel viel früher !"

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@hilfemathe12

Hahah nein die sache ist die, dass meine lehrerin uns die verfahren mit dem additions und gleichsetzungs nicht beigebracht hat zum lösen von diesen gleichungen sondern nur das einsetzungs und deswegen habe ich angst, dass sie doch vielleicht ein anderes verfahren nimmt und wollte das auch lernen denn eigentlich verstehe ich schnell sachen.. nur hat sie immer punkte genommen bei denen man direkt a oder b raus hatte damit man es einsetzen kann.. und jetzt möchte ich mich auf das schlimmste vorbereiten

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@hilfemathe12

Ok, denke daran, dass es egal ist, mit welchem Verfahren du ein Gleichungssystem löst, Hauptsache du löst es und zwar richtig, es sei denn die Lehrerin verlangt explizit, dass ihr ein ganz bestimmtes Verfahren anwenden sollt / müsst.

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Hallo,

Deine Funktion ist leider falsch, siehe die Antwort von DepravedGirl.

Alternativ zum Aufstellen eines Gleichungssystems kannst Du auch das Newton-Verfahren benutzen, um aus gegebenen Punkten eine Polynomfunktion aufzustellen.

Der Grad der Funktion ist dabei immer um 1 niedriger als die Anzahl der Punkte, die Du hast.

Hier sind es drei Punkte, das ergibt eine Funktion zweiten Grades, also eine Parabel.

Eine Parabel hat die Normalform ax²+bx+c, gesucht sind also die Werte für a, b und c.

Das kannst Du, wie DepravedGirl ausführlich gezeigt hat, durch ein Gleichungssystem lösen.

Es gibt aber auch noch ein anderes Verfahren, das Newton-Verfahren.

Die Funktion läßt sich danach aus dem Schema c+b*(x-x1)+a*(x-x1)*(x-x2) ermitteln.

x1 und x2 sind dabei die x-Koordinaten der beiden ersten Punkte.

Hier also: x1=0|y1=3; x2=3|y2=81; x3=-2|y3=21

Der Wert ohne x, also das c, ist gleich y1, also=3

c=3

Nun stellst Du die Gleichung c+b*(x2-x1)=y2 auf, also 3+b*(3-0)=81
3+3b=81
3b=78
b=26

Zuletzt kommt noch die Gleichung c+b*(x3-x1)+a*(x3-x1)*(x3-x2)=y3, also
3+26*(-2-0)+c*(-2-0)*(-2-3)=21
3-52+10c=21
10a=70
a=7

Nun berechnest Du die Funktionsgleichung, indem Du die Werte für a, b und c in das Schema einsetzt:

f(x)=c+b*(x-x1)+a*(x-x1)*(x-x2)
f(x)=3+26*(x-0)+7*(x-0)*(x-3)=3+26x+7x²-21x=7x²+5x+3

Der Vorteil bei diesem Verfahren liegt darin, daß Du in jeder Gleichung immer nur eine Unbekannte hast und so keine Gleichungen mit mehreren Unbekannten miteinander verrechnen mußt.

Hast Du vier Punkte gegeben, kannst Du eine Funktion dritten Grades nach dem Schema d+c*(x-x1)+b*(x-x1)*(x-x2)+a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) aufstellen.

Das funktioniert bei beliebigen Anzahlen von Punkten, wird dabei natürlich auch immer aufwendiger. Dennoch hast Du es bei jeder Gleichung immer nur mit jeweils einer Unbekannten zu tun.

Die Gleichungen, in die Du nach und nach die ermittelten Werte einsetzt, lauten bei vier Punkten:

d=y1
d+c*(x2-x1)=y2
d+c*(x3-x1)+b*(x3-x1)*(x3-x2)=y3
d+c*(x4-x1)+b*(x4-x1)*(x4-x2)+a*(x4-x1)*(x4-x2)*(x4-x3)=y4

Herzliche Grüße,

Willy

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