Funktionen MATHE, hilfeee?

Aufgabe 2 - (Mathe, Funktion)

5 Antworten

Hallo,

in deinem Arbeitsblatt geht es um sogenannte trigonometrische Funktionen.

Winkel- und Bogenmaß; Periode

Erstmal werde ich dir was zum Winkel- und Bogenmaß erklären. Das Winkelmaß wird in Grad angegeben, z.B. 78°. Das Bogenmaß ist eine Zahl, und jedem Winkel ist eine Zahl im Bogenmaß zugeordnet. Nehmen wir uns nochmal den Einheitskreis (siehe Anhang). Dieser hat bekanntlich den Umfang 2π. Zeichnet man jetzt in den Einheitskreis den Winkel α ein, so hat der Bogen eine bestimmte Länge. Wichtige Werte sind 45° = π/4, 90° = π/2, 180° = π, 360° = 2π. Jetzt können wir auch Winkel, die größer als 360° sind, im Bogenmaß darstellen.

Da sind wir schon bei etwas Wichtigem, nämlich der Periode. Wenn man sich eine Sinuskurve im Koordinatensystem ansieht (siehe deine Aufgabe), so ist sie wellenartig. Diese Welle "herauf herunter", wie sie bei y=sin(x) - einer normalen Sinusfunktion - der Fall ist, geht bis 2π. Dies ist auch die Periodenlänge, darauf gehe ich aber später noch einmal ein.

Strecken in y-Richtung

Nun kann man die Sinusfunktion strecken. Dies tun wir zunächst in y-Richtung. Wenn man die normale Sinusfunktion jetzt mit Faktor 2 in y-Richtung streckt, dann ist die Funktion y= 2•sin(x). Diese 2 ist allgemein a, also y= a•sin(x). A erhältst du auch, indem du schaust du, wo der Wendepunkt (also der Periodenanfang) liegt und dann schaust, wie hoch sie von dem Punkt aus ist.

Strecken in x-Richtung

Nun kann man die Sinusfunktion nicht nur in y-Richtung, sondern auch in x-Richtung strecken. Der nachfolgende Part ist sehr schwer zu erklären und wird häufig nicht verstanden.

Man nehme sich die normale Sinusfunktion. Nehmen wir aber mal an, die Periodenlänge sei 4π, also doppelt so lang wie normalerweise. Das heißt, dass die Kurve mit dem Faktor 2 gestreckt wurde. Nun ist es so, dass b - der Faktor vor dem x - der Kehrwert des Streckfaktors ist. Das heißt, dass b = 1/2: y = sin(1/2•x).

Das b kann anhand der Periodenlänge leicht bestimmt werden. Die Periodenlänge ist nämlich genauso lang wie 2π/b. Nun stellt man nach b um, also b = 2π/4π = 1/2.

Verschieben in x-Richtung

Man kann die Sinusfunktion auch verschieben, wie jede andere Art von Funktion auch. Wer schon mal was von quadratischen Funktionen gehört hat und weiß, wie es dort mit der Verschiebung war, hat hier gute Karten. Denn wenn man das KS nach rechts verschiebt, wird die Sinuskurve automatisch nach links verschoben und umgekehrt. Eine Verschiebung um π/2 nach links wäre also y = sin(x-π/2) und umgekehrt. So ist das auch beim Verschieben der Normalparabel. Allgemein ist dies die Variable c.

Verschieben in y-Richtung

Man kann die Sinuskurve selbstverständlich nicht nur nach links oder rechts, sondern auch nach oben oder unten verschieben. Das schreibt man da einfach an das Ende: y = sin(x)+1. Allgemein ist dies die Variable d.

Achtung: Wird eine Sinuskurve in x-Richtung verschoben, so geht diese meist nicht mehr durch den Ursprung, sondern schneidet den y-Wert an einem anderen Wert. Schaue zuerst immer, ob eine Verschiebung des Periodenanfangs in x-Richtung vorliegt. Natürlich kann auch beides zusammen vorliegen.

Allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Form der Sinusfunktion ist

y = a•sin(b(x+c))+d.

Dabei ist

a: Streckfaktor in y-Richtung 
=> a < 0: steigt, fällt bei der ersten Nullstelle, steigt bei der zweiten Nullstelle etc.
=> a > 0: fällt, steigt bei der ersten Nullstelle, fällt bei der zweiten etc.

b
: Kehrwert (!!!) des Streckfaktors in x-Richtung

c
: Verschiebung in x-Richtung 
=> c < 0: Verschiebung nach links 
=> c > 0: Verschiebung nach rechts

d: Verschiebung in y-Richtung

Soviel zur allgemeinen Sinusfunktion - das sollte ja hoffentlich für das Verständnis der Aufgabe reichen! Im Übrigen ist 2b keine Zuordnung, 2a allerdings schon. Begründen musst du schon selbst :)

Vielleicht konnte ich ja etwas helfen :)
Tut mir leid, wenn der Editor die Formatierung kaputt macht.

LG ShD

Woher ich das weiß:Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK
Der Einheitskreis - (Mathe, Funktion)

Über der Aufgabe steht ja eine (verkürzte) Definition des Begriffes Funktion.

Du musst also bei Deinen Aufgaben prüfen: Gehört zu jeder Zeit genau ein Wasserstand? Oder anders: kannst Du zu jeder Uhrzeit eindeutig sagen, wie der Wasserstand zu dieser Zeit war?

Oder umgekehrt: Kannst Du bei jedem einzelnen Wasserstand sagen, zu welcher Uhrzeit er diese Höhe betragen haben muss?

Hilft das?

Oh okay, so ist ihm wohl besser geholfen:-)

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@Mogli22

Ich versuche meist erst mal, "nur" Denkanstöße zu geben.

Zudem ergänzen sich häufig auch die verschiedenen Antworten ziemlich gut ;-)

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2a) Die Zuordnung ist eine Funktion, da jedem Zeitpunkt genau EIN Wasserstand zugeordnet werden kann. (s. Def.: Einem Eingabewert (bspw 1 sec) wird ein Ausgabewert (hier ca 1 m) zugeordnet)

2b) Keine Funktion, da bspw der Wasserstand von 2m an ZWEI verschiedenen Zeitpunkten erreicht werden kann (s. Def.: Einem Eingabewert (2m) wird ein Ausgabewert zugeordnet->hier sind es aber zwei( ca 3 sec und 11sec, erkenns nicht genau)=>keine Funktion)

So ich hoff des stimmt jetzt auch und es ist verständlich erklärt;-)

Ja, ist eine Funktion.

Google mal Parabeln, vielleicht hilft es dir auf die Sprünge.

Gutefrage ist dazu nicht gedacht Hausaufgabe zu posten und zu hoffen das sie jemand macht ;)

Ich hab erklären geschrieben und nicht könnt ihr diese Aufgabe für mich machen.

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