Funktion mit Extremwertermittlung?

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5 Antworten

Hallo,

f'(x)=3x²-5x-2

Die Extremstellen liegen da, wo f' Null wird:

3x²-5x-2=0 |:3

x²-(5/3)x-2/3=0

Jetzt die pq-Formel:

x₁,₂=5/6±√(25/36+2/3)=2 oder -1/3

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
07.01.2016, 09:49

Herzlichen Dank für den Stern.

Willy

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Zuerst muss die Funktion abgeleitet werden.Die Formeln dafür findest du im Mathe-Formelbuch,was du dir privat in jeden Buchladen besorgen kannst,z.Bsp. den "Kuchling"

Bei dieser Aufgabe muss die Potenzregel und die Summenregel angewendet werden. Siehe Mathe-formelbuch "Differentationsregeln"

Die Gesamtfunktion f(x) ist hier eine "Summe" von Einzelfunktionen. 

also f(x) = f(x1) +f(x2) +f(x3)+f(x4) abgeleitet laut Summenregel

f´(x)=f´(x1) +f´(x29+f´(x3)+f´(x4) die Indizes 1,2,3,4 dienen hier nur zur Unterscheidug der Einzelfunktionen und haben sonst keine Bedeutung !!

f(x1)=x^3 abgeleitet f´(x3)=3 *x^2 nach der Potenzregel

f(x2)=- 5/2 *x^2 abgeleitet f´(x2)= - 5 *x

f(x3)= - 2*x abgeleitet f´(x3)= - 2

f(x4)=10 abgeleitet f´(x4)= 0 eingesetzt in  f´(x) = .....

f´(x)= 3 *x^2 - 5 *x - 2 nochmal abgeleitet nach der selben Methode

f´´(x)=6 *x - 5 nochmal abgeleitet

f´´´(x)=6 Wendepunkt ist nicht vorhanden,weil gilt f´´´(x)=0 ist hier nicht gegeben

Bedingung für Maximum f´(x)=0 und f´´(x) <0

Minimum f´(x)=0 und f´´(x) >0

Nullstellen bei f´(x)=3 *x^2 -5 *x -2 sind x1= 2 und x2= - 0,333.. 

Eingesetzt in f´´(x)=6 *x - 5 ergibt Maximum bei x2= - 0,333..

Minumum bei x1=2

Nullstellen bei der Funktion f(x)=x^3-5/2 *x^2 - 2 *x +10 sind x1=- 1,7799

und 2 konjugiert komplexe Nullstellen z1=2,1399 + i 1,0019

z2=2,1399 - i 1,0019

hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt.Solltest dir auch einen zulegen und das oben erwähnte Mathe-Formelbuch.

Ohne diese Ausrüstung kannst´e gleich einpacken !!

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  f  (  x  )  :=  x  ³  -  5/2  x  ²  -  2  x  +  10    (  1  )

   Nein mit Extrema fangen wir noch lange nicht an. Im Gegentum zu euren Lehrern obwaltet bei mir nämlich Ordnung; und die wird bekanntlich benotet. Kubistische Polynome sind nämlich ein Sonderfall; ihre Kurvendiskussion hat zu beginnen mit dem WP . Warum? Das hat drei gute Gründe.

  1)  Für Spickzettel und Regelheft; jedes kubische Polynom verläuft PUNKT symmetrisch gegen seinen WP . ( Selbst das Internet verschweigt dir diese wichtige Regel. )

   Asymptotisch von Rechts kommt es als Polynom natürlich von ( + °° ) . Daher WENN es Extrema hat, durchläuft es, von Rechts kommend, zunächst das MINIMUM . Das Maximum kriegst du dann aus dem Minimum immer durch Spiegelung an dem WP . Wollen doch mal sehen, ob wir nicht Ordnung kriegen in deine kleinen grauen Zellen . . .

  2) Mitnichten bedarfst du einer 2. Ableitung, um diesen WP zu identifizieren. Für Spickzettel und Formelsammlung; den WP schnitzt du dir aus der Normalform des Polynoms ( Diese liegt ja in ( 1 ) bereits vor. )

   x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  5/6    (  2  )

   Fazit: Der WP stellt sich als wichtig heraus; und er ist leicht zu ermitteln.

  3) " Dat dritte Loch kriejemer speeter. "

  Jetzt kommt ausnahmsweise mal etwas, was sie " dir gelernt " haben. Die Extrema folgen als wurzeln der ersten Ableitung von ( 1 )

    f  '  (  x  )  =  3  x  ²  -  5  x  -  2  =  0        (  3  )

   Hier die ganzen andern Kantonisten raten dir zur Mitternachtsformel ( MF ) Es hat sich ( übrigens bei Lehrern wie Schülern ) immer wieder erwiesen: Die Begeisterung für diese MF ist proportional zur Unwissenheit dieser Herrschaften. Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

   Naa; hast du dich von deinem Schock erholt? Die Behauptung von Wiki allerdings, der Entdecker des SRN sei Gauß, ist eine dreiste Fälschung. Matematik kann eben sehr aufregend sein; hier meine Gründe.

  1) Gauß ist doch Kult; wieso hat denn dein Lehrer noch nichts vom SRN vernommen? ( Ich weiß; der will euch nur mal prüfen. )

   2) Betätige dich doch ruhig mal selber als Kriminalkomissar. WIE habt ihr seiner Zeit bewiesen, dass Wurzel ( 2 ) irrational? Notfalls findest du Unterstützung bei Wiki.

   Und jetzt führe den selben Beweis über den SRN . DEN Beweis wirst du dein Leben lang nicht mehr vergessen. Den Augenblick der Erleuchtung bezeichnet der japanische ===> Zen Buddhismus als ===> Satori .

   Und weder Gauß selbst noch seine Adepten sollten in den verflossenen 200 Jahren auf meine Idee verfallen sein? Voll abwegig.

   3) Das früheste Zitat, das Wiki vorweisen kann, stammt aus dem ( wahrscheinlichen ) Entdeckungsjahr 2006.  Was du als Schüler noch nicht wissen kannst. Als seriös auf dem Gebiete der Polynomalgebra gelten alleine ===> v.d. Waerden und ===> Artin ( 1930 ) Keiner von denen hatte je von einem " SRN " vernommen . . . 

   4) Und jetzt geht's ans Eingemachte. Ich selbst erfuhr von dem SRN aus dem Internet; das war im Jahre 2011. Doch; es gibt User, die selbst Mathe Studienräte sind. Auf meine Rückfrage hin hätte der Hinweis auf Gauß doch genügt; doch worauf soll ein Lehrer verweisen, dem es schlicht peinsam ist, weil seine vorgesetzte Behörde es auch nicht kennt? Hier mir Frankfotter kenne da en gei le Witz, wer DU bis unn was dein Lehrer für aanen is. Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese; in Sachsehause? Uffn ===> Affetorplatz?

  Sitzt e klaa Äffsche uff'ne Palm in Urwald. Unn rings kimmt e Riese konzentrisch Feuerwalz uff des Äffsche auf zu. Wie soll sisch des Äffsche in Sischerheit pringe?

  Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß?

  Und in jener denkwürdigen Woche im Jahre 2011, als ich erstmals vom SRN erfuhr. Da gelangen mir auf Anhieb drei Entdeckungen zu dem Tema; die fielen mir einfach so ein ( Hängt vielleicht damit zusammen, dass ich eine Tugend besitze, die Physiker ganz allgemein auszeichnet: Wichtige Konsequenzen ziehen aus Entdeckungen, die andere gemacht haben. )

   Und mit einer meiner Entdeckungen werden wir uns im Folgenden zu beschäftigen haben. Es handelt sich um zwei pq-Formeln oder genauer: eine p-Formel und eine q-Formel. Du weißt, wie wichtig dass pq-Formeln sind. Wir gehen aus von einer quadratischen Gleichung ( QG )  z.B. ( 3 ) Diese möge in ===> primitiver Form vorliegen ( ganzzahlig gekürzt ) ( In ( 3 ) ist dies der Fall. ) Nur weil ihr immer fragt; welche Formen der QG sind für uns wichtig? Ich unterstelle mal, dass ( 3 ) in rationale Linearfaktoren zerfällt:

   x1;2  (  ext  )  :=  p1;2 / q1;2  €  |Q    (  4a  )

   Wie üblich mögen x1;2 in gekürzter Darstellung vorliegen. Dann gelten die beiden pq-Formeln ( 4bc )

   p1  p2  =  a0  =  (  -  2  )     (  4b  )

   q1  q2  =  a2  =  3      (  4c  )

   ( 3 ) wird gelöst mit den Mitteln der ===> Zahlenteorie und Kombinatorik; ich dachte immer Raten ist die große Leidenschaft aller Schüler . . .

   Die Lösung erscheint " quantisiert "  ; dabei erweist sich ( 4c ) als die weitaus wichtigere Randbedingung. Da der ===> Leitkoefffizient 3 eine Primzahl ist, erwarten wir eine ganz-so wie eine drittelzahlige Wurzel. Allerdings ist noch unklar, auf welche Seite wir das Absolutglied 2 schlagen müssen - zu den Ganzen oder zu den Dritteln? Gibt es denn auch hinreichende Bedingungen? Ja; erstaunlich genug. Erinnern wir uns der Punktsymmetrie ( 2 ) ; für die beiden Extrema äußert sich diese in einer Mittelwertbeziehung

   x  (  w  )  =  1/2  [  x  (  max  )  +  x  (  min  )  ]       (  5a  )

   f  (  w  )  =  1/2  [  f  (  max  )  +  f  (  min  )  ]       (  5b  )

   Dass ( 5a ) notwendig ist, ist selbstverständlich. Aber es ist eben auch hinreichend; die tiefere Ursache liegt im Satz von Vieta begründet. Testen wir gegen ( 2 )

   |  x1  (  ext  )  |  =  2/3  ;  |  x2  (  ext  )  |  =  1  ;  |  x  (  w  )  |  =  1/6    (  6a  )  

   |  x1  (  ext  )  |  =  1/3  ;  |  x2  (  ext  )  |  =  2  ;  |  x  (  w  )  |  =  5/6    (  6b  )    ;  ok

   Jetzt noch das vorzeichen richtig drehen - fertig ist die Laube. Da der Mittelwert positiv ist, muss das betragsgrößere Extremum auch Plus sein:

      x  (  max  )  =  (  -  1/3  )  ;  x  (  min  )  =  2   (  6c  )

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1. Ableitung von der Funktion ausrechnen.

2. Ableitung =0 setzen 

3. Umformen und dann PQ Formel benutzen.

4. Bei Bedarf noch den X Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen.

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Klammer doch erstmal aus bevor du ableitest.. Keine Garantie :D

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Kommentar von Willy1729
03.01.2016, 15:34

Was soll denn da ausgeklammert werden und was soll das bringen?

Einzelne Summanden sind viel einfacher abzuleiten als Produkte.

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Kommentar von Naturschutzer
03.01.2016, 15:52

mach wie du meinst aber ich würde es erstmal ausklammern :) dann hast du nämlich schon eine extremstelle und zwar null

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