Funktion höheren Grades: Reelle Nullstellen finden und die Produktdarstellung angeben?

7 Antworten

Zur Produktdarstellung:

Besitzt eine Polynomfunktion an der Stelle x1 eine Nullstelle, so kann man die Funktion auch in der Form: f(x)= (x-x1)*f1(x) dartsellen. Dabei ist in dem Fall (x-x-1) der Linearfaktor und f1(x) wird als reduziertes Polynom bezeichnet.

Allgemein sind die Schritte:

1. f(x)=0

2. Linearfaktoren aufschreiben

3. Produktdarstellung bilden, bei Bedarf mit dem reduzierten Polnyom bzw. dem Polynom.

Beispiel mit doppelter Nullstelle:

f(x)=x²+2x+1

PQ Formel, da x²+px+q

sqrt(x)=0, somit eine Lösung.

x1/2=-1+sqrt(1-1)

x1/2=-1-sqrt(1-1)

x1=-1

x2=-2

Linearfaktorzerlegung: (x+1) und (x+1)

Produktdarstellung:

(x+1)*(x+1) bzw: (x+1)²

Probe:

Dafür werden hier die binomischen Formel verwendet.

(x+1)^2=x^2+2x+1

(erste Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²)

Ich habe mir die Funktion mal (mit GeoGebra und) bei WolframAlpha angeschaut:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+7x%5E3+-+2x%5E2+%2B+7x+-2

Die (reelle) Produktdarstellung lautet demnach

f(x) = (7x - 2)(x² + 1)

Sie hat nur eine reelle Nullstelle, bei ungefähr x = 0,285714, genauer bei x = 2/7 - es gibt also keine ganzzahlige Nullstelle. Dass Du per "Raten" keine gefunden hast, ist daher schon mal richtig ;-)

(Beim "Raten ganzzahliger Nulstellen" kannst Du Dich übrigens immer auf die ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes beschränken, hier also auf +/-1 und +/-2.)

Wie man allerdings zu der Lösung kommt, weiß ich aber leider auch nicht ... :-(

Dein Ansatz ist prinzipiell richtig!

Wenn der Koeffizient der höchsten Potenz 1 ist, dann ist das konstante Glied immer das Produkt aller Lösungen (Satz von Vietà!)
→ durch 7 divdieren: x³-2/7·x²+x-2/7 → probieren zB 2/7 → Voilà! du hast die erste Nullstelle → die beiden anderen Lösungen sind nicht reell.

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – langjährige Nachhilfe

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