Funktion gesucht. Hilfe

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2 Antworten

"Die Ursprungsfunktion" gibt es schonmal gar nicht. Nehmen wir zum Beispiel an, die Ableitung einer Funktion g lautet g '(x) = 3x². Dann könnte zum Beispiel g(x) = x³ gelten. Es könnte aber auch g(x) = x³ + 5 sein, da Konstanten beim Ableiten einfach wegfallen.

Merke: Wenn nur eine Ableitung gegeben ist, gibt es unendlich viele mögliche Ursprungsfunktionen.

So, nun zum Ermitteln.

  • Die erste Möglichkeit ist, dass du die wichtigsten Stellen der Ableitung ausrechnest und damit Rückschlüsse auf die Urpsrungsfunktion ziehst, wie du es gemacht hast.

In diesem Fall sind zum Beispiel -1 und 4 Nullstellen, weswegen bei x = -1 und x = 4 Extrema (oder Sattelpunkte) bei der Ursprungsfunktion sein müssen.

Insbesondere hast du die Monotonie ausgerechnet. Vor x = -1 ist die Funktion monoton steigend und nach x = -1 ist sie monoton fallend. Also muss bei x = -1 ein Hochpunkt sein.

Ebenso argumentierst du, dass bei x = 4 ein Tiefpunkt liegen muss.

D.h. du hast schonmal folgende Randbedingungen:

f '(-1) = 0

f '(4) = 0

Außerdem ist f '(x) eine Funktion zweiten Grades, d.h. f(x) selbst muss eine Funktion dritten Grades sein, denn beim Ableiten verringert sich der Grad ja um 1.

=> f(x) = ax³ + bx² + cx + d für geeignete Zahlen a, b, c und d. Hierbei ist d vollkommen egal, denn wie gesagt fällt es ja beim Ableiten weg. Aus Bequemlichkeit definieren wir einfach d = 0

=> f(x) = ax³ + bx² + cx. Du hast nun 3 Variablen und 2 Gleichungen durch die 2 obigen Bedingungen. Eine dritte Gleichung kriegst du raus, indem du ausrechnest, wo der Tiefpunkt von f '(x) liegt. Denn dort hat die Ursprungsfunktion dann einen Wendepunkt.

  • Die zweite Möglichkeit ist die Integration. Wenn dir das Wort nichts sagt, werde ich auch nichts dazu sagen, denn es würde dich vielleicht eher verwirren ;)

also normal leitest du die funktion einfach auf. dafür lernt man regeln.

f(x)= 0,5^-1,5x-2 F(x)= (0,5/3)x^3-(1,5/2)x²-2x+d die letzte variable kann man anhand der ableitung nichtmehr nachvollziehen.

Also spezielle Regeln hatten sie definitiv noch nicht. Das einzige sind halt Extrempunkte und so womit ich die Ursprungsfunktion bilden kann bzw. Ableiten kann.

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