Funktion f(x)=√x Steigung berechnen für x=0?

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7 Antworten

warum lässt sich die Steigung der Funktion f(x)=√x an der Stelle x=0 mithilfe der Ableitungsfunktion nicht angeben?

Weil die Funktion in 0 nicht differenzierbar ist. Erstens gibt es keine Obergrenze für die Steigung einer Tangente, weil die Tangente einer auf der Seite liegenden Parabel, deren obere Hälfte der Funktionsgraph ist, die y-Achse ist. Man sieht es also schon.  

Der Definitionsbereich der Funktion als einer reellen Funktion fängt bei x=0 erst an, also kann man die Funktion nicht einmal als stetig bezeichnen, nur als rechtsseitig stetig.

Anders wäre das bei einer Funktion wie

(1) g(x) = ∛{x} (für x < 0: ∛{x<0} = –∛{–x} = –∛{|x|}),

aber auch diese Funktion ist in 0 nicht differenzierbar, da es auch hier für die Steigung einer Tangente keine Obergrenze gibt (die Steigung der Umkehrfunktion an der entsprechenden Stelle ist 0).

Rechnerisch kann man das für Wurzelfunktionen allgemein begründen, dass

(2) h(x) = ⁿ√{x} = x^{¹/ₙ} ⇒ h′(x) = ¹/ₙ·x^{¹/ₙ–1},

d.h. der Exponent der Ableitung h′(x) ist negativ. Derartige Funktionen haben in 0 eine Polstelle, sind also um 0 herum nicht beschränkt.

Konkret ist

(3.1) f′(x) = 1/(2√{x}),
(3.1) g′(x) = 1/(3(∛{x})²).

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Ganz einfache Erklärung:

Die Wurzel-Funktion ist an der Stelle x=0 NICHT differenzierbar,
das heißt, die Ableitung existiert nicht an der Stelle x=0.
Und wenn keine Ableitung existiert, kann man auch keine Steigung berechnen.


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Kommt auf den zugrundegelegten Zahlenbereich an.

Im Bereich der reellen/komplexen Zahlen idt die Steigung nicht definiert.

Wenn wir das Element unendlich hinzunehmen ("meromorphe Funktionen"), gibt es an dieser Stelle eine Steigung, nämlich unendlich. Aber das geht über den Schulstoff hinaus.

Vermutlich noch gerade im Bereich des Schulstoffes dürfte sein, einen Limes formal unendlich werden zu lassen. Schau dir unter diesem Gesichtspunkt noch einmal den Differenzenquotient von x -> √x an.

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Zeichne einfach die Wurzelkurve und schau die Steigung bei x=0 ! Die Tangente (Steigung) ist die y-Achse, also Steigung = Unendlich! Kannst natürlich auch 1. Ableitung und dann x=0 einsetzen. Ist das Gleiche!

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f(x)=√x 
f'(x)=1/(2*√x)


Was passiert, wenn du x=0 einsetzt?

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Ableitung
f ' = 1 / (2√x)

und da kannst du nicht 0 einsetzen.

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Leite das dingen ab. Wurzel = hoch(1/2) . Damit schaffst du es vielleicht eher

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