Funktion f(x)=f(2x), konstant, Stetigkeit

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etwas verstpät, aber ich hab nun deine eigentliche frage verstanden:

du setzt die stetigkeit also voraus?

dann ist der beweis dafür, dass f konstant ist richtig !

denn wenn f stetig ist gilt: für eine folge, die gegen 0 konvergiert konvergiert die bildfogle gegen f(0). da die folge so konstruiert ist, dass die gleichheit der funktionsargumente für die folgenglieder trivial ist (die sind immer vielfache voneinander mit faktor 2, bzw. 1/2 vom anderen faktor aus gesehen), muss nur noch gezeigt werden, dass an der stelle 0 nicht eine ausnahme passieren kann. dies kann nicht der fall sein wegen der konvergenz der bildfolge gegen f(0). (das wäre noch deutlicher zu zeigen, das spar ich mir aber!)

der beweis geht ohne das n dann kaputt, weil du dann keine folge mehr hast, auf die du das folgenkriterium der stetigkeit anwenden kannst. ohne folge kein folgenkriterium. was würdest du denn allein mit x/2 anstellen wollen? doch nicht etwa x/2 gegen 0 gehen lassen ? :P das wäre ja genau dasselbe wie das n zu benutzen. außerdem sieht man nur bei der konstruierten folge, dass die gleichheit gilt.

damit man 100% richtigen beweis liefern kann, muss man noch erwähnen, dass x beliebig gewählt werden konnte, also für jeden startwert x/2^0 = x kann man zeigen, dass an dieser stelle f(x) = f(0). das kommt bei dir noch nicht ganz so deutlich heraus.

ich weiß nicht so recht, was deine frage ist... du möchtest also überprüfen, ob eine funktion mit der bedingung f(x)=f(2x) stetig oder auch konstant ist. dabei ist deine funktion wohl eine abbildung von R nach R.

nun deine spezifische frage, weshalb man das n braucht ist ganz einfach.. dein argument verläuft über eine durch n indizierte folge. wenn du das n weglässt geht der ganze beweis also kaputt.... allerdings versteh ich auch den ganzen beweis nicht.. .der zeigt meiner meinung nach gar nichts.

die folge x/2^n konvergiert gegen 0. deshalb geht f( limes der folge ) auch gegen f(0), aber was für stetigkeit zu zeigen ist: limes f( folge ) = f(0) ! oder anders ausgedrückt:

limes f( folge ) = f (limes folge )

du musst also zeigen, wenn deine folge gegen 0 geht, dass dann die bildfolge gegen f(0) geht! außerdem ist die funktion nicht stetig!

betrachte beispielsweise die signum-funktion. die ist weder konstant noch stetig. aber es gilt: f(x) = f(2x) = 1 für positive x (mit x positiv ist auch 2x positiv), f(x) = f(2x) = -1 für negative x, und f(x) = f(2x) = 0 für x=0.

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