Funktion aus einem Trapez und Dreieck bilden?

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2 Antworten

Zu 2)

Die Funktionsvorschrift ergibt sich aus dem Pythagoras c² = a² + b²

b = √(c² - a²)

Am Einheitskreis ( https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis ) kannst Du sehen, dass der Graph ein Viertelkreis mit dem Radius c ist. a ist der x-Wert, b der y-Wert

Beim Trapez gelten folgende Seitenbezeichnungen:

Grundlinie a

obere Seite (parallel zur Grundlinie) c

Seitenlinien b und d (beim gleichseitigen Trapez ist b=d)

Höhe h

---------------------------------------------

Gegeben: Seiten a und b (=d)

Gesucht: Fläche A als Funktion des Winkels α zwischen a und b

(1) sin(α) = h / b >> h = sin(α) • b

(2) cos(α) = ((a-c)/2) / b  >> c = a - 2 • cos(α) • b

A = (a+c)/2 • h

(1) und (2) einsetzen

A = (a – b • cos(α)) • b • sin(α)

Proben:

α = 0° >> cos(α) = 1; sin(α) = 0 >> A = 0

α = 90° >> cos(α) = 0; sin(α) = 1 >> A = a • b (= Rechteck)

--------------------------------------------

α = 45° >> cos(α) = sin(α) = ½ • √2

A = (a – b/2 • √2 ) • b/2 • √2

A = a
• b/2 • √2 – b²/2

Dieses Ergebnis überprüfen wir nochmal am Beispiel b = a/√2

A = a²/2 – a²/4 = (a/2)²

Das ist richtig, denn bei α = 45° wird das Trapez zu einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite a und der Höhe a/2 ( A = ½ • a • a/2 = a²/4)

111fragen111 15.10.2017, 17:06

Oh da hatte ich doch ein Verständnis- und Denkfehler. Eigentlich schon peinlich diese Aufgabe nicht selbstständig zu lösen^^ Aber vielen vielen lieben Dank für die super nachvollziehbare Erklärung jetzt hat es endlich klick gemacht und der Aha-Effekt war auch dabei. :)

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