Funktion auf stetigkeit/differenzierbarkeit prüfen?

Aufgaben - (Schule, Mathematik, Physik)

5 Antworten

A1:

Eine Funktion ist stetig auf dem offenen Intervall I, genau dann wenn für alle Folgen x(n) mit Grenzwert x aus I gilt:

|f(x(n)) - f(x)| --> 0 für n -> inf

Da wir wissen, dass Polynome stetige Funktion auf ganz IR sind, folgt es nur noch die Stetigkeit an den Grenzübergängen zwischen den Teilintervallen zu zeigen. Um die Stetigkeit am Übergang zu zeigen, muss der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. Oder anders gesagt:

f(x = +a) = f(x = -a)

mit x = a Grenze und x = +a rechte Seite der Grenze und x = -a die linke Seite der Grenze.

A2:

Zunächst gilt es zu überprüfen ob die Funktion stetig ist, dies ist eine Grundvorraussetzung für Differenzierbarkeit.

Im zweiten Schritt bildest du jeweils die stückweise formale Ableitung unter Zuhilfenahme der Differentiationsregeln (Summenregel, Kettenregel, Produktregel ... ). Diese gilt es nun zunächst im Inneren der Teilgebiete auf Definitionslücken zu prüfen.

Zum Schluss gilt es die Differenzierbarkeit an den Übergängen zu überprüfen. Auch hier muss dann wieder der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert der beiden Ableitungen übereinstimmen für stetige Differenzierbarkeit.

Bei zusammengesetzten Funktionen ist immer der Übergang von einer Teilfunktion zur nächsten die kritische Stelle. In der Regel muss nur diese Stelle auf Stetigkeit/Differenzierbarkeit geprüft werden, bzw. in diesem Fall musst Du die Teilfunktionen gleichsetzen und für x die entsprechende Übergangsstelle einsetzen und nach a auflösen.

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Also würde ich bei A1 zb. x^2-a*-1+b=0 setzen ? ^^ War leider die letzten 2 wochen Krank und konnte die Vorlesung/Übung nicht besuchen :(

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@SirThanksalot

nein, Du musst die ersten beiden Teilfunktionen x²-ax+b und (a+b)x für x=-1 gleichsetzen, also (I) 1+a+b=-(a+b) und die unteren beiden Teilfunktionen (a+b)x und x²+ax-b für x=1, also (II) a+b=1+a-b.

In (II) kannst Du b eindeutig lösen, und somit bei (I) auch das a...

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@Rhenane

Oh. Also a=-1 und b=0,5 und dann mit Lim nochmal auf Stetigkeit untersuchen um den Beweis zu haben ?

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Stetigkeit: Funktionswerte müssen an den "Nahtstellen" übereinstimmen.

Differenzierbarkeit: Ableitung muss dort definiert sein, an den "Nahtstellen" müssen die Ableitungen übereinstimmen.

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