Funktion 3. Grades aufstellen mit nur 3 gegebenen Punkten?

6 Antworten

Eine Funktion 3. Grades hat 4 Unbekannte, dafür braucht man 4 Bedingungen. Das können 4 Punkte sein, es geht aber auch mit weniger Punkten, wenn man Zusatzinformationen hat. Beispielsweise "P ist ein Extremwert, Wendepunkt, doppelte Nullstelle, hat die Steigung... ,usw."

Grundsätzlich brauchst du vier Bedingungen, weil eine Funktion 3. Grades auch vier Unbekannte hat:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Entweder hast du eine Bedingung nicht ganz rausgelesen, die ja extra gut versteckt werden, oder du musst später mit einem nicht eindeutigen lin. Gleichungssystem weiter kommen. Das solltet ihr dann aber auch schon einmal gemacht haben. Kommt auch immer auf die Aufgabe an.

Habe einen Graphen mit einer x^3 vorliegen. Darauf sind nur die drei Punkte angegeben. Symmetrisch ist sie nicht.

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@iKnabe

Dann hast du ganz sicher dort noch eine Bedingung, die du noch nicht erkannt hast. Sofern er nicht symmetrisch ist, hast du vermutlich einen Punkt, der ein Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) ist, den du ablesen kannst. Ist das der Fall, weißt du, dass an der Stelle die Steigung null vorliegt. Die Steigung geben wir mit der Ableitung f' an.

Beispiel:

Du erkennst, dass ein Hochpunkt bei H(2|4) vorliegt. Damit weißt du dann neben f(2)=4 auch, dass f'(2)=0 ist. Denke daran, die allgemeine Grundgleichung auch abzuleiten und dann erst die Bed. einzusetzen.

Falls du keinen Extrempunkt ablesen kannst, lade das Bild am besten mal irgendwo wie z.B. auf Lightshot hoch, dann können wir den Graphen selbst mal anschauen und dir ggf. helfen.

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@iKnabe

Wie ich schon vermutete:

Es ist klar zu erkennen, dass der Punkt P(-3|0) nicht nur eine Nullstelle, sondern auch ein Tiefpunkt der Funktion f ist.

Demnach kannst du aus dem Punkt folgende Bedingungen "machen":

f(-3) = 0

f'(-3) = 0

Hier nochmal die Grundgleichung und Ableitung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Jetzt f'(-3) = 0 einsetzen:

f'(-3) = 3a*(-3)²+ 2b*(-3) + c

0 = 3a*9 -6b + c

0 = 27a - 6b + c

Die anderen Bedingungen natürlich auch (in die Ausgangsfunktion) einsetzen und dann ein lineares Gleichungssystem bilden und dieses lösen.

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In deiner Zeichung ist bei -3 ein Extremwert.
Das ist die Nr. 4 für die Gleichungen, als Funktionswert hast du ihn ja schon berücksichtigt.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c .......... und f '(-3) = 0

Oh man, dass ich den nicht gesehen habe...

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