Funktion 3. Grades aufstellen (Mathe Abi GK)

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3 Antworten

Ganzrationale Funktionen f dritten Grades, die die x-Achse berühren, sind bei gutefrage.net anscheinend sehr beliebt. Sie haben einige nette Spezialeigenschaften, die das Aufstellen der Funktionsgleichung erheblich erleichtern.


A. Beispielsweise ist die Berührstelle immer eine doppelte Nullstelle (1), und es gibt immer eine weitere reelle Nullstelle (2); in diesem Fall (0 | 0).

Deswegen lassen sich die Linearfaktoren der Funktion direkt angeben, und sie hat die Form

f(x) = a (x - 0) (x - 3t)² = a x (x -3t)²,

wobei a der (zu bestimmende) Leitkoeffizient ist. - Mit Produktregel:

f'(x) = a ( (x - 3t)² + x 2(x 3t) ) =

a (x -3t) (x - 3t + 2x) =

3 a (x - 3t) (x - t) ; (1)

. . .

Wegen f'(0) = 2t/3 (wenn deine Schreibweise "2/3t" so gemeint war) folgt:

2t/3 = 3 a (0 -3t) ( 0 -t) , also

a = 2 / (27t);

wenn f'(0) = 2/(3t) gemeint war, folgt

2/(3t) = 3 a (0 -3t) ( 0 -t) , also

a = 2 / (27t³);

Nun brauchst du nur noch a in (1) einzusetzen und bist fertig.


B. Weitere Eigenschaften ganzrationaler Funktionen f dritten Grades, die die x-Achse berühren:

Sei x0 die doppelte Nullstelle, x3 die dritte Nullstelle. Dann gilt:

x0 ist eine Stelle mit horizontaler Tagente E1.

Außerdem teilt der x-Wert des Wendpunktes und derjenige eines weiteren Extremus die Strecke zwischen den Nullstellen in drei gleiche Teile:

Bei x0 + (x3 -x0)/3 hat f einen Wendepunkt W;

da f wie alle ganzrationalen Funktionen dritter Ordnung punktsymmterisch zu ihrem Wendepunkt ist, folgt:

Bei x0 + 2(x3 -x0)/3 ist eine weitere Stelle mit horizontaler Tagente E2;

wenn E1 Hochpunkt ist, ist E2 ein Tiefpunkt, und umgekehrt. Aus der Punktsymmetrie folgt auch:

  • E2 ist in y-Richtung doppelt so weit von der x-Achse entfernt wie W, d.h.
  • der y-Wert von E2 ist dem Betrage nach doppelt so groß wie der y-Wert von W.

Bemerkung: Eine dreifache Nullstelle x0 = x3 ist ein Sattelpunkt; dieser ist immer ein Wendepunkt und kann als Berührpunkt aufgefasst werden.


C. (Indirekter) Beweis von (1):

Sei (x0 | 0) der Berührpunkt von f .

  • Annahme: f'(x0) ≠ 0. Dann wechselt f(x0) in x0 das Vorzeichen.

    Bemerkung: Dieser Zusammenhang ist der gleiche, aus dem auch folgt, das bei einem x1 eine Extremum von f ist, wenn f'(x1) = 0 und f''(x1) ≠ 0 ist, denn f''(x1) ≠ 0 ist hinreichend (aber nicht notwendig) dafür, dass f'(x) in x1 das Vorzeichen wechselt.

Das ist widersprüchlich, denn f wechselt bei Berührung der x-Achse in x0 dort nicht das Vorzeichen. Also ist f'(x0) = 0

  • Sei nun f(x) = (x - x0) * h(x) (3). (h(x) entsteht durch die Polynomdivision f(x) / (x - x0) ). Dann ist mit Produktregel:

f'(x) = h(x) + (x - x0)h'(x) ⇒

0 = f'(x0) = h(x0) + (x0 - x0)h'(x0) = h(x0) + 0 = h(x0);

da x0 auch Nullstelle von h(x) ist, ist x0 wegen (3) (mindestens) doppelte Nullstelle von f(x), w.z.b.w.

. . .

Beweis von (2)

Nach dem Fundamentalsatz von Gauß und d'Alembert hat eine ganzrationale Funktion dritten Grades immer genau drei komplexe Nullstellen (die reell sein können oder aber nicht, und paarweise verschieden sein können oder aber nicht). Wenn f eine doppelte Nullstelle hat, hat f also noch genau eine weitere komplexe Nullstelle.

Annahme: Die dritte Nullstelle ist echt komplex. - Dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl Nullstelle, und f hat insgesamt vier Nullstellen (Widerspruch).

Also ist die dritte Nullstelle reell, q.e.d.

Bemerkung: x3 und x0 müssen nicht verschieden sein, d.h. x0 kann auch eine dreifache Nullstelle sein. Beispiel: x0 = x3 = 1 für y = x³ -3x² +3x -1 = (x -1)³


D. Einen weiteren Beweis zu berührenden Funktionen dritten Grades findest du in der Antwort auf "Funktion dritten Grades bestimmen!", gestellt von Janessa659 am 08.06.2014 - 21:17

Weitere Beweise bei Bedarf.

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Kommentar von Aqulium
15.06.2014, 19:15

Vielen Dank für die Antwort! hat mir echt geholfen :)

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Hm die freundliche Antwort von Nadine ist ja weg. Ich wollte gerade eine Bemerkung abgeben.

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Das sind Abi Aufgaben und nicht 9. Klasse?

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Kommentar von Aqulium
15.06.2014, 15:52

Abiaufgaben aus dem Grundkurs 84/85 .. ich verstehe nicht wieso das eine Rolle spielt ?

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