Funktion 10.Grades rekonstruieren?

6 Antworten

Wenn bei einer Funktion 10. Grades nur 6 Potenzen von x angetroffen werden, bedeutet dies 6 Unbekannte einschließlich Absolutglied:

y = ax¹⁰ + bx⁸ + cx⁶ + dx⁴ + ex² + f     

Ich schreibe mit Bedacht y, weil es sich bei Steckbriefaufgaben wirklich um den y-Wert eines Graphen handelt.

Das kann man ganz allgemein ableiten:

y' = 10ax⁹ + 8bx⁷ + 6cx⁵ + 4dx³ + 2ex

Da ein Wendepunkt dabei ist, musst du auch noch die 2. Ableitung bilden. Das kannst du sicher allein.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei 8.
Da x an dieser Stelle 0 ist, hast du schon mal          f = 8
Das ist praktisch die 1. Gleichung des LGS.

Für die Nullstelle musst du einen gegebenen Wert (z.B. x = 5) in die y-Gleichung einsetzen und für y eine 0 schreiben.
Sachen wie dx⁴ musst du ausrechnen, bei diesem Term: d * 5⁴ = 625d

Entsprechend die zweite Nullstelle. Damit hast du schon drei Gleichungen.

Extremwert und Wendepunkt sind ja erstmal Punkte der Kurve. Da kannst du die x-Werte auch in die Kurve einsetzen. Das klappt aber nur beim Extremwert, da der Wendepunkt kein gegebenes y hat, um eingesetzt werden zu können.

Dafür können wir Extremwert und Wendepunkt in die 1. bzw. 2 Ableitung einsetzen. Da darf dann aber y nicht verwendet werden, weil beim Extremwert y' = 0 zu nehmen ist und beim Wendpunkt y'' = 0.

Dann hast du deine 6 Gleichungen zusammen und kannst loslegen mit dem LGS, entweder zu Fuß oder mit einem sehr guten Rechner. (Selbst relativ gute steigen bei 5 Unbekannten aus. Es muss also ein tolles Modell sein.)

Noch Fragen? Schreib einen Kommentar.
Die 6 Gleichungen kannst du dann ja mal eintippen, falls du wenigstens diese hast.

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Meinst du nicht, es wäre besser gewesen, diese Anfrage bereits am Freitag hereinzustellen statt Sonntag Nacht?

Symmetrisch zur y-Achse-->Keine ungeraden Exponenten:

f(x) = ax¹⁰ + bx⁸ + cx⁶ + dx⁴ + ex² + f      

Schnittpunkt mit der Y-Achse bei 8 (<=> x ist dort 0):

f=8 --> f(x) = ax¹⁰ + bx⁸ + cx⁶ + dx⁴ + ex² + 8

Nullstellen bei a) x=-5 und b) x=3 

a) f(-5)=0

b) f(3)

Extrempunkt bei P(-2|1)

a) f'(x)df/dx = 10ax^9 + 8bx^7 + 6cx^5 + 4dx^3 + 2ex

f'(-2) = 0

b) f(-2) = 1

Wendepunkt bei x=1 

f''(x) = 90ax^8 +56bx^6 + 30cx^4 + 12dx^2 +2e

f''(1) = 0 

Also hast du nach  der 2. Gleichung noch 5 Informationen für 5 Variabeln --> lösen

Naja, zugegeben, ein bisschen blöd ist die Aufgabe schon, denn mit dem Ergebnis ist man als Schüler in aller Regel nicht zufrieden und glaubt, dass es wohl falsch sein muss:

f(x) =
 3307/34398000·x^10
 - 6961/3822000·x^8 
- 474893/11466000·x^6
+ 4086731/4914000·x^4
 - 1238893/286650·x^2
 + 8

Berechnet mit: http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Leider gibt es dort kein Häkchen für Symmetrie, so dass man alle Eigenschaften (bis auf f(0)=8) doppelt eingeben muss, z.B. Extrempunkt bei (-2|1) und bei (2|1). So hat man dann 11 Angaben statt der notwendigen 6.

Vielleicht hätte ja schon das Aufstellen der Bestimmungsgleichungen gereicht, ein LGS mit 6 Variablen macht ja kein Mensch zu Fuß.

Aber ich mag nicht so richtig glauben, dass man damit ein ganzes Wochenende verbringt. Wenn man absolut keine Idee hat, nützt doch auch das Anstarren der Aufgabe nichts.

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