Für welchen Wert von a gibt es nur eine Stelle mit waagerechter Tangente?

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3 Antworten

Stellen mit waagrechter Tangente sind Extrempunkte (oder Sattelpunkte). Diese werden berechnet, indem f'(x) null gesetzt wird.

Wenn es nur einen Extrempunkt geben soll, so darf f'(x) nur eine Nullstelle haben.

Da f(x) eine kubische Funktion (dritten Grades) ist, ist f'(x) eine quadratische Funktion (zweiten Grades).

Und damit eine quadratische Funktion nur eine Nullstelle hat, muss diese die x-Achse berühren, also nicht vertikal verschoben sein.

f(x) = 1/3 * x³ - x² - ax
f'(x) = x² - 2x - a

Formen wir f'(x) in die Scheitelpunktform um, erhalten wir:

f'(x) = (x - 1)² - 1 - a

-1 - a gibt die vertikale Verschiebung der Parabel an.

Da diese null sein muss, gilt: -1 - a = 0 ⇔ a = -1

Also: f(x) = 1/3 * x³ - x² + x

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Kommentar von Alejandro1998
02.10.2016, 16:14

Okei vielen Dank, ich bin auch auf -1 gekommen , in dem ich angenommen habe, dass die Diskrimante der eingesetzten Ableitung in die Lösungsformel gleich null sein muss. 

Wie würde ich dann den entsprechenden Punkt auf dem Graphen von f herausfinden?

Viele Grüße

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Was ich jetzt gemacht hab ist, die Ableitung zu bilden und sie versuchen null zu setzen erstmal:

f(x) = (1/3)x³ - x² - ax

f'(x) = x² - 2x - a

f'(x) = 0   =>  x² - 2x -a = 0 |+a

x² - 2x = a | x ausklammern

x (x-2) = a

Heißt also, für jedes a, für das gilt a = x (x-2), hat f(x) genau eine Stelle mit der Tangentensteigung Null. Kann das die Lösung sein, die bei dir gefordert wird?

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Kommentar von Alejandro1998
02.10.2016, 16:11

Vielen Dank für deine Hilfe! Kann gut möglich sein, dass dies die richtige Lösung ist. Mein ursprünglicher Gedanke war, die Ableitung gleich 0 zu setzen und zu schauen, wann diese null wird. Habe gedacht, wenn mit Hilfe der Lösungsformerl die Diskriminante 0 ist gibt es nur eine Lösung. Kann auch sein, dass ich damit falsch lag, bin mir nicht ganz sicher. Darf man das mit der Diskriminante hier überhaupt so anwenden?

Wie würde man deiner Meinung nach dann den entsprechenden Punkt auf dem Graphen f herausfinden?

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Waagrechte Tangente: Steigung (=1. Ableitung) = 0

a ist demnach so zu wählen, dass die 1. Ableitung nur eine Nullstelle hat.

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Kommentar von Alejandro1998
02.10.2016, 16:02

Vielen Dank! So weit bin ich bis jetzt auch gekommen, nur wenn es darum geht, den entsprechenden Punkt auf dem Graphen von f zu berechnen setzt es bei mir aus:D

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