Für welchen Parameter a ist die Funktion stetig in zwei?

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2 Antworten

Einfach gesagt musst du gucken dass der rechtseitige Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert ist an der problematischen Stelle.

Beispiel hier:
Hier ist offensichtlich xgrenz=2 das problem.

Jetzt stell dir mal vor, du hast ein x welches kleiner 2 ist (und größer 0 nach den Vorgaben) . Dieses hat den Funktionswert f(x)=a*x .
Jetzt lässt du dieses x gegen 2 gehen.
formal bestimmst du den Grenzwert von x->2.
Dadurch wird der Funktionswert zu f(xgrenz)=a*xgrenz.

(Beachte hier dass du a*x nur verwenden darfst weil xgrenz hier als grenzwert auftauch!)

Dieses ist der linksseitge grenzwert weil du eben von links auf die 2 gekommen bist.

Beim rechtsseitigen grenzwert lässt du x von rechts gegen 2 gehen, da ist f(x)=1 der Grenzwert trivialerweise.

nun sollen rechts- und linksgrenzwert übereinstimmen, also:
Gleichsetzen!
der linke GW a*xgrenz soll gleich dem rechten GW 1 sein.

xgrenz weißt du ja, ist 2. Wie lautet nun a?

Quick and Dirty Guide für Problem dieser Art im Allgemeinen:
So darfst du das zwar nicht machen da formal falsch aber um rauszufinden was letztlich die lösen sein soll, mach ich ffolgendes:
Sagen wir mal xgrenz=k ist die problemstelle.

Dann setzt du das in den teil von f(x) ein, der eigentlich für x<k gedacht ist.
Und setzt in den teil ein, in den x>k sein sollte.

Was da jeweils rauskommt setzt du gleich und hast damit eine Bedingung, die erfüllt sein muss damit die Funktion an der Stelle stetig ist.

in deinem beispiel hast du k=2.
und die Ausdrücke
a*k und 1, die gleich sein müssen.

Formal richtig, ist das nicht, nur ein Weg um mal einen blick auf das Endergebnis zu erhaschen.

Richtig musst du letztlich alle Grenzwerte brav hinschreiben, so in der Art:

Sei x=2. Sei x0 beliebig, aber <2. (und >0)
Dann ist trivialerweise lim (x0->2)=2=x und weiter ist der rechtsseitige Grenzwert der Funktion:
lim(x0->2) von f(x0)=a*x0  ist gleich a*2=a*x da lineare Funktionen (nach Satz Xy aus Vorlesung/Skript/etc.) stetig sind bzw. nach den grenzwertsätzen.

Gleiches schreibst du nochmal für den rechten Grenzwert, hier ist eben die Funktion f(x)=1 ebenfalls stetig nach Skript.

Und dann sollen rechter und linker Grenzwert gleich sein , also
lim von (a*x0)=a*(lim(x0))=a*x soll gleich
lim von (1)=1 sein

ergo a*x=1.  Und das eben nach dem gesuchten a auflösen.

Ist vom Prinzip her das Selbe wie mein kurzer Weg, allerdings werden halt wirklich alle erforderlichen Begründungen und Co. für jeden einzelnen Schritt hingeschrieben.

Und gerade am Anfang der Vorlesung im Semester wird noch ziemlich viel Wert darauf gelegt, dass für jeden Schritt eine Begründung dasteht.

Später dann nehmen dies nicht mehr so genau und ein

lim von (a*x0)=a*(lim(x0))=a*x  = lim von (1)=1
mit anschließender umformung erfüllt die Aufgabe.

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ich denke:

a=1/2

weil 1/2 • 2 = 1

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