Für welche reele Zahl c hat eine Gerade mit der Kugel keinen, einen oder zwei Punkte gemeinsam?

5 Antworten

Die Gerade liegt in der xz-Ebene. Dort hat auch die Kugel ihren Mittelpunkt. Skizze in dieser Ebene reduziert Kugel auf einen Kreis um x = 2. Daran soll die Gerade zunächst tangential (aus dem Koordinatenursprung) verlaufen. Es entsteht ein rechtwinkliges symmetrisches Dreieck, BerÜhrpunkt über x = 1, somit t = 1.

r² + |(1,0,c)|² = 4, also 1²+0²+c² = 2. c = 1 oder c = -1.

c zwischen -1 und 1 -> zwei Schnittpunkte

c>1 oder kleiner -1 -> kein Schnittpunkt.

|c| = 1 --> ein Schnittpunkt

|c| < 1 --> zwei Schnittpunkt

|c| > 1 --> kein Schnittpunkt

Veranschauliche dir die beiden geometrischen Objekte im 3D Raum. Dann brauchste eigentlich nichts ausrechnen.

;-)

Er möchte sich wahrscheinlich auf's Mathe-Abi vorbereiten, da ist eine Visualisierung am PC nicht immer das Mittel der Wahl xD

Aber schonmal danke, dann kann ich mein Ergebnis überprüfen.

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Einsetzen:

(t-2)²+(tc)²=2

Umformen:

t² + 4t - 4 + t²c² = 2
(1 + c²)t² + 4t - 6 = 0
t² + 4/(1 + c²) • t - 6/(1 + c²) = 0
p = 4/(1 + c²), q = - 6/(1 + c²)

Man sieht, dass das haarig wird. In pq-Formel einsetzen und Diskriminante bestimmen. Die gibt wie sonst auch Anzahl der Schnittpunkte.

Die Diskriminante muss für den Berührpunkt null werden, also kannst Du so c bestimmen. Damit dann mit der pq-Formel den Wert für t ausrechnen. Den noch in die Geradengleichung einsetzen und fertig.

Zu dieser Uhrzeit passieren mir öfter mal Fehler, keine Garantie auf meine Umformungen. Gute Nacht.

Und man kann dann mittels dem sagen, was man für c einfügen muss? Weil ich habe es auch so versucht, aber entweder kam ich nicht weiter oder ich hatte ein Rechenfehler. Ich meine, das P hat ja dann im Nenner in der Wurzel (4/2(1+c^2))^2 das c hat ja dann eine Potenz von vier? Wie soll ich dann da weitermachen?

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@Bjoern4Torateon

Substitution. Der Ansatz ist aber totaler Schwachsinn... Ich musste gerade noch etwas im Bett vor mich hin grübeln, um das zu bemerken.

Viel besser geht es so: Berechne mit dem Lotfußpunktverfahren den Abstand der Geraden zum Punkt (2|0|0) in Abhängigkeit von c. Ist der Abstand gleich √2, so ist es der Berührpunkt. Ist er kleiner, so wird die Kugel zwei mal geschnitten, ist er größer, so wird sie nicht geschnitten.

Manchmal macht man so viel Aufwand um nichts...

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Ja stimmt XD, also soll ich jetzt mit den Punkt G(t, 0,tc) einen Differenzvektor mit M(0,0,2) bilden, und dann diesen mit dem richtungsvektor wieder multiplizieren?

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Ich habe es gerade versucht, ich bleibe wieder an einer Stelle stehen...

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@Bjoern4Torateon
I. n1 + n3 • c = 0 (Skalarprodukt)
II. 2 + n1 = t
III. n2 = 0 -> n2 = 0
IV. n3 = t • c


GS lösen:
II in IV: n3 = 2c + n1 • c
II in IV': n3 = 2c - n3 • c²
(1 + c²) n3 = 2c
n3 = 2c/(1 + c²)
n1 = - n3 • c = -2c²/(1 + c²)

Betrag des Vektors zur Geraden:
r² = n1² + n3² = (4c² + 4c⁴)/(1 + c²)²

r² (1 + c²)² = 4c⁴ + 4c²

Substituiere s = c²:
r² (1 + s)² = 4s² + 4s
r² + 2r²s + r²s² = 4s² + 4s
(4 - r²) s² + (4 - 2r²) s - r² = 0
r² = 2 (nicht so mathematisch sauber, aber an dieser Stelle habe ich keine Lust mehr)
2s² - 2 = 0
s² = c⁴ = 1
Die 4. Wurzel von 1 ist ±1.

Joa, durch logisches Denken weiß man, dass wenn es Berührpunkte bei -1 und 1 gibt, dazwischen die Kugel mehrfach geschnitten und außerhalb überhaupt nicht geschnitten wird. Alles nicht schön und die Rechnung wurde doch noch etwas unangenehm, aber ich habe jetzt einfach keine Lust mehr :D

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