Für welche Mengen ist die Summe zweier Elemente wieder in der Menge?

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2 Antworten

Ich denke bei allen? Vielleicht bei E nicht?

Nehmen wir uns zu diesem Anlass erst einmal E vor:

E = {v + λu|λ∈ℝ}  *)

stellt einen sogenannten affinen Unterraum bzw. eine lineare Mannigfaltigkeit dar. Es ist eine typische Geradengleichung, aber die Gerade verläuft nicht durch den Ursprung, da v und u linear unabhängig sind. Es ist

(v + λu) + (v + µu) = 2v + (λ + µ)u ∉ E, 

weil man das im Allgemeinen nicht in die Form v + λu bringen kann. Natürlich ist auch

F = {w + λu|λ∈ℝ}

eine lineare Mannigfaltigkeit, aber eben eine mit der speziellen Eigenschaft, dass sie den Ursprung enthält, nämlich für


λ = –½.

Daher ist F ein Untervektorraum (Ursprungsgerade in u-Richtung), der übrigens mit A übereinstimmt. Spontan hatte ich eingangs auch

B = {u + x|x ∈ ℝ²}

für ein Gegenbeispiel gehalten, aber das ist Quatsch, denn

(u + x₁) + (u + x₂) = 2u + x₁ + x₂ = u + x mit x = x₁ + (x₂ – u).

Es ist B = ℝ². Auch

D = {λu + μw|λ,μ∈ℝ}

ist eine solche Menge, aber wegen w = 2u nur eine Gerade, die übrigens mit A und F identisch ist.

C stimmt - wie B - mit ℝ² überein. Deine Vermutung stimmt also.

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*) In Chromium oder Chrome kannst Du »ℝ« schreiben, mit STRG+C kopieren und mit SHIFT+STRG+V Inhalt einfügen, und es kommt ℝ heraus. In der App wird es umgewandelt, nur musst Du dann genau aufpassen, was Du schreibst.

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die Werte zu den Vektoren! 

u=(2,3) v=(3,-1) w=(4,6)

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kreisfoermig 19.10.2016, 06:28

(i), (ii)*,  (iii), (iv), da genau diese UVR bilden und die anderen eben nicht. *=solange da {u+x|x∈ℝ²} steht.

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ralphdieter 19.10.2016, 11:13
@kreisfoermig

(vi) passt aber auch, da w=2u.

Also sind's alle außer (v). Dort ist z.B. (v+0u)+(v+0u)=2v∉E

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