Für alle v ∈ V gilt: Wenn (s1,....,sn,v) linear unabhangig in ein K-Vektorraum ist , dann auch (s1,...,sn) linear unabhangig in V?

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2 Antworten

Hallo,

ich verstehe deine Frage so:

du hast n+1 linear unabhängige Vektoren eines K-Vektorraumes V.

Man entfernt einen der n+1 Vektoren.
Sind dann die n restlichen Vektoren linear unabhängig?

Die Antwort ist ja.

Ist B eine Menge linear unabhängiger Vektoren von V, dann besteht jede Teilmenge von B auch aus linear unabhängigen Vektoren.

Gruß

Eddiefox hat Recht, aber warum?

Du musst Dir die Definition für lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ansehen:

Sei V Vektorraum über einem Körper 핂. Eine Menge

s₁,…, sₙ ∈ V

heißt linear unabhängig, wenn genau eine, die triviale Linearkombination dieser Vektoren den Nullvektor ergibt, d.h., wenn mit

λ₁,…, λₙ ∈ 핂

gilt:

λ₁s₁ + … + λₙsₙ = 0 ⇒ λ₁ = … = λₙ = 0

Anderenfalls heißen sie linear abhängig, was anschaulich bedeuten kann, dass man aus ihnen eine geschlossene Figur basteln könnte. Es reicht aber schon, wenn der Nullvektor selbst dabei ist: Ist sₖ=0 für ein k∈ℕ, ist es egal, was λₖ für einen Wert hat; der kann ebenfalls 0 sein, muss aber nicht. Es gibt also nichttriviale Linearkombinationen, nämlich sämtliche mit λₖ≠0.

Daran ändert auch ein zusätzlicher Vektor v nichts. Dessen Koeffizient μ mag ebenfalls 0 sein müssen, um den Nullvektor zu generieren, aber es gibt ja noch immer λₖ.

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