Frage zur Substitution mit arctan?

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3 Antworten

Du musst einfach nur richtig einsetzen. Achte darauf: f ist nicht die zu integrierende Funktion!

Denn du definierst zunächst f(g(x))*g'(x):

f(g(x))*g'(x) := arctan (x) /(1+x²)

Dann definierst du:

g(x) := arctan (x)

damit ist

g'(x) = 1/(1+x²)

also

f(g(x))*g'(x) = g(x) * g'(x)

daher

f(g) = g

Jetzt nur die Regel anwenden:

int arctan (x) /(1+x²) dx  = int f(g(x))*g'(x) dx = int f(g) dg = int g dg = g²/2 + C

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Kommentar von Recall09
09.07.2017, 14:13

Warum kann man das einfach so definieren f(g(x))*g'(x) := arctan (x) /(1+x²) ??? es ist doch formell falsch

Mir fällt es auch das
f(g) = g schwer zu verstehen, da es ja kein f gibt und in wie fern die subst. Formell hier ihre Gültigkeit besitzt...danke

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Könntest du vielleicht ein Bild von der Aufgabe hochladen? Der Ausdruck arctanx/1 kommt mir etwas seltsam vor.

Generell lässt sich als äußere Funktion immer die Identitätsfunktion f(x)=x angeben. Inwieweit das allerdngs Sinn machen soll, ist mir schleierhaft, da man durch Substitution von u(x)=x (und u'(x)=1) wieder auf die ursprüngliche Funktion kommt.

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Kommentar von Recall09
09.07.2017, 12:36

Hallo, habs leider nur schriftlich, die x^2 sind auch unter arctanx

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Kommentar von Recall09
09.07.2017, 12:38

Als lösung kommt 1/2 * t^2  in den grenzen von acrtan(a) bzw. b

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Meinst Du
∫ (arctan(x/(1+x²))) ???

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Kommentar von Recall09
09.07.2017, 13:18

Nein es ist ein bruch arctan(x) durch 1+x^2

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Kommentar von ralphdieter
09.07.2017, 13:22

Ich tippe eher auf:

    ∫ arctan(x) / (1+x²) dx

Dann wäre f die Identität, also:

     ∫ g(x) · g'(x) dx = ∫ g dg = ½ g² = ½ arctan² x

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