Frage zur Punktschätzung (Stochastik)

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Mit einer Punktschätzung wird in der Statistik ein Punkt bzw. eine Zahl geschätzt, die einen unbekannten Wert ersetzen soll. Ein simples Beispiel stellt die Schätzung des unbekannten Erwartungswertes oder der Varianz dar, welche aufgrund einiger fehlenden Daten der zugrunde liegenden Verteilung, die durch diese Werte charakterisiert wird, nicht berechenbar sind.

Ein ganz simples Beispiel: die Bernoulli-Verteilung ist definiert auf zwei Werten: 1 mit Wahrscheinlichkeit p und 0 mit Wahrscheinlichkeit 1-p. Die Zahl p stellt offensichtlich die einzige Größe dar, die diese Verteilung charakterisiert, denn zb durch p=0.3 wissen wir sofort, welche Gewichte (Wahrscheinlichkeiten) die Dichtefunktion auf ihrem diskreten Träger {0,1} annimmt. Wenn wir nun den Erwartungswert berechnen wollen, benötigen wir die Zahl p, da der Erwartungswert durch p(1-p) gegeben ist. Wenn p nicht bekannt ist, so kann der Erwartungswert offensichtlich nicht berechnet werden, daher muss er geschätzt werden.

Ein Schätzer, auch als Stichprobenfunktion genannnt, ist eine Funktion auf der Menge der Beobachtungen, die uns einen Schätzerwert liefert. Das arithmetische Mittel 1/n * (X1+...+Xn) stellt den bekanntesten Schätzer für den Erwartungswert dar.

In der Statistik können beliebige Größen geschätzt werden, die notwendig aber aufgrund fehlender Daten nicht berechenbar sind. Unter anderem: Varianz, Quantile, Dichten, zugehörige Parameterwerte, Momente, Wahrscheinlichkeiten usw. Für all das müssen Schätzer herangezogen werden. Es stellt sich allerdings die Frage, welcher Schätzer benutzt werden soll. Von einem guten Schätzer erwartet man, dass er möglichst exakt und unverzehrt schätzt und damit verlässliche Ersatzpunkte liefert. Diese Eigenschaft wird anhand des Mittleren Quadratischen Fehlers (MSE) gemessen. In der Statistik gibt es einige Verfahren, wie man gute und sogar beste Schätzer bestimmen kann. Das arithmetische Mittel stellt meiner Erinnerung den besten erwartungstreuen Schätzer für den Erwartungswert dar, solange keine zusätzlichen Modellannahmen an die Verteilung gemacht werden. Deshalb ist er so verbreitet.

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