Frage zur Mathematik; Zahlenfolge?

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2 Antworten

Versuche, U(n+1) durch U(n) auszudrücken.

(Oder gleichwertig, U(n) durch U(n-1).)

(Erstmal Korrektur des Tippfehlers: U(n) = 480/2^(n-1))

-- offensichtlich läuft hier n ab 1. (Sorry, in der Computertechnik zählt man grundsätzlich ab 0; das hat übrigens auch in der Mathematik gewisse Vorteile.)

Die Bildungsformel für n+1:

U(n+1) = 480 / 2^((n+1)-1) = 480 / 2^n

Die Bildungsformel für n:

U(n) = 480 / 2^(n-1)

Mit etwas Erfahrung sieht man, dass man am besten einen Quotient bildet, um eine Beziehung zwischen U(n+1) und U(n) zu erhalten, in der n ansonsten nicht vorkommt.

Sonst kann man z. B. versuchen, möglichst alles neben dem n herauszuziehen:

U(n) = 480 / (2^n * 2^(-1)) = 480 / 2^(-1) / 2^n = 480 * 2 / 2^n

Jetzt sieht man unmittelbar, dass der Term 2^n in den Ausdrücken für U(n+1) und U(n) auftritt. Jetzt können wir nach diesem Ausdruck auflösen und einsetzen - übersichtlicher ist vermutlich Substitution:

z := 2^n

Ich löse die erste Gleichung nach z auf, da sie kürzer ist - da ist zu erwarten, dass das Auflösen weniger Arbeit macht:

U(n+1) = 480 / 2^n = 480 / z

z = 480 / U(n+1)

Einsetzen in die 2. Gleichung:

U(n) = 480 * 2 / z = 480 * 2 / (480 / U(n+1))

Auflösen des Mehrfachbruchs:

U(n) = (480 * 2 * U(n+1)) / (480 ) = 2 * U(n+1)

Üblicherweise gibt man Rekursionsformeln als Ausdruck für das Glied mit dem höheren Index an - also diese Gleichung nach U(n+1) auflösen:

U(n+1) = 1/2 U(n)

Fertig.

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Rekursiv ist doch einfach: a_0 = 480, a_i+1 = a_i/2

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