Frage zur Differenzierbarkeit?

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2 Antworten

Hallo,

Eine solche Funktion sollte besser nicht stetig differenzierbar auf einer Umgebung von x sein; ansonsten ist nämlich f'(z) > 0 für alle Punkte dieser Umgebung und damit wäre f dort (streng) monoton wachsend.

Am besten nehmen wir gleich eine Funktion, die quasi nirgendwo stetig ist. Solche Funktionen lernt man in AnaIysis I kennen, z.B. f(z) = 0, falls z rational ist und f(z) = 1, falls z irrational ist.

Nun, wirklich nirgends stetig darf sie nicht sein, da sie ja zumindest differenzierbar (und somit stetig) in x sein sollte. Also bauen wir Funktionsvorschriften, die sie stetig in x machen. Zur Vereinfachung sei x=0, ansonsten können wir die Funktion einfach entsprechend verschieben:

f(z) = 0, falls z rational ist und f(z) = z, falls z irrational ist. 

Wenn man sich den Graphen anschaut, sieht man als normalsterblicher Mensch zwei "Geraden", die sich in x schneiden. Dort ist f stetig.

Aber die Steigungen der beiden "Geraden" stimmen dort nicht überein, d.h. f ist nicht differenzierbar. Wir müssen unsere Funktionsterme also anpassen, sodass sie für z = 0 dieselbe Steigung hat und sie sonst trotzdem noch überall unstetig ist. 

Wähle also f(z) = z² + z, falls z rational ist und f(z) = z, falls z irrational ist.

Zeige nun:

  • Dieses f ist differenzierbar in x und f '(x) = 1.
  • f ist nicht stetig in allen anderen Punkten.
  • f ist in keiner Umgebung von x monoton. 

Der letzte Punkt ist ja der eigentlich interessante. Sei U eine Umgebung von x. Sei e > 0 ein rationales Element von U (mit e meine ich eigentlich epsilon). 

Wegen f(e) > 0 = f(x) kann f höchstens monoton wachsend auf U sein, falls denn überhaupt eine Monotonie vorliegt (wir hoffen ja, dass das nicht der Fall ist).

Sei 0 < d < e² für eine irrationale Zahl d (Delta), sodass e+d noch in der Umgebung liegt.

Dann ist f(e+d) - f(e) = e + d - e² - e = d - e² < 0,

d.h. f(e + d) < f(e), obwohl e + d > e. Dementsprechend ist die Funktion auch nicht monoton wachsend.

Es keine Umgenung von x geben muss, in der f monoton fallend ist. f'(x) per definitionem ist ein limit (f(x+h)-f(x))/h wenn h->0. Und Sie haben dass f'(x)>0. Deshalb f(x+h)-f(x) war nur positiv seit einiger klein h

wenn h > 0. Aber wenn h<0 (f(x+h)-f(x))/h ist positiv seit einiger klein h, deschalb f(x)-f(x+h) ist positiv (weil h ist negativ).

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