Frage zum Lösen einer Logarithmusgleichung?

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5 Antworten

Hallo,

hier kommst Du wohl nur über ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren weiter.

Du kannst die Gleichung in 5*8^x-6*7^x-3=0 umformen.

Wenn Du für x eine 1 einsetzt, kommst Du auf -5, bist also zu tief.

Setzt Du 2 ein, kommst Du auf 23, bist also zu hoch.

Du vermutest also die Lösung zwischen 1 und 2 und nimmst 1,5 als Startwert.

Beim Newton-Verfahren gilt:

(x0+1)=x0-f(x0)/f'(x0)

Wenn f(x)=5*8^x-6*7^x-3, dann f'(x)=5*ln(8)*8^x-6*ln(7)*7^x

Für x setzt Du zunächst 1,5 ein und kommst so auf den nächsten Startwert:

1,5-(5*8^1,5-6*7^1,5-3)/(5*ln(8)*8^1,5-6*ln(7)*7^1,5)=1,551734183

Da im Nenner 5*ln(8) und 6*ln(7) als Konstanten in jeder Iteration auftauchen, speichere ich diese im Rechner ab, um mir Tipperei zu ersparen.

Außerdem speichere ich den neuen Startwert ab für die nächste Iteration.

Natürlich kannst Du auch ein Tabellenprogramm schreiben.

Ich gebe nun 1,551734183 als x0 ein, um den nächsten Startwert zu berechnen und komme auf 1,547517953

Der nächste Wert ist 1,547486717, dann 1,547486715

Dieser Wert ist auch schon die Lösung.

Diesen Wert spuckt auch der Rechner aus, wenn man die Gleichung

5*8^x-6*7^x=3 eingibt und auf Solve drückt.

Herzliche Grüße,

Willy

Ne, das funktioniert so nicht. Für manche Gleichungen gibt es einfach keine analytische Lösung, da musst Du mit einem Näherungsverfahren ran und die Lösung ungefähr bestimmen. Häufig verwendet wird zum Beispiel das Newton-Verfahren.

Dein Rechenweg wäre so aber übrigens auch nicht korrekt.

lg(a + b) ≠ lg(a) + lg(b)

Schau Dir am Besten noch mal die Logarithmusgesetze an, ein bisschen Auffrischen schadet nie:
https://www.formelsammlung-mathe.de/logarithmus.html

LG Willibergi

Summandenweise logarithmieren geht gar nicht. Der erste Ansatz ist doch meist: alle x auf eine Seite, alle absoluten Zahlen auf die andere.

5*2^(3x) - 6*7^x = 3. Aber rechnerisch komme ich da jetzt auch nicht weiter.

Wie wäre es mit dem GTR: y = 5*2^(3x) - 6*7^x - 3, Nullstelle bestimmen !

Hallo Igotquestion,

so sieht die Lösung aus (siehe Bild). Es ist eine numerische Lösung mit Geogebra.

Gruß von leiermann

 - (Schule, Mathe, Mathematik)

  f  (  x  )  :=  5  *  8  ^  x  -  6  *  7  ^  x  -  3    (  1  )

   Mein Chef plag zu sagen

   " Da es sowieso nicht exakt geht und alle anderen Verfahren komplizierter sind. Nehmen Sie doch einfach fortgesetzte Intervallhalbierung ( ' Telefonbuchsuche ' ) "

   Du programmierst diese Formel und wendest die beschriebene Halbierung an, die auf dem ===> Zwischenwertsatz beruht. Wir müssen nur sicher gehen, dass die Funktion f monoton ist ===> Deine Lösung ist eindeutig.

  f  '  (  x  )  =  15  *  8  ^  x  *  ln  (  2  )  -  6  *  7  ^  x  *  ln  (  7  )  =  0  | : 3    (  2a  )

   5  *  8  ^  x  *  ln  (  2  )  -  2  *  7  ^  x  *  ln  (  7  )  =  0     (  2b  )

                                  lg (  49  )

    (  8/7  )  ^  x  =     --------------------          (  3  )

                                 lg (  32  )

    Anmerkung; alle Logaritmensysteme sind ja proportional. Daher darf ich in ( 3 ) natürliche durch gewöhnliche dekadische Logaritmen ersetzen. Ihr habt ja den TR; ich bin auf Hybridrechnen angewiesen mit Solarrechner und Muttis Logaritmentafel ( Hier das ist experimentelle Archäologie; das waren noch Zeiten, als wir Schnurkeramiker die Logaritmen in alle Stelen ritzten. Sich Ritzen  soll ja wieder modern sein ... )

   Es folgt noch ein Teil 2; ich schick jetzt erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist.

  lg  (  49  )  =  1.6902       (  2.1a  )

  lg  (  32  )  =  1.5051       (  2.1b  )

  lg  (  49  )  :  lg  (  32  )  =  16 902  :  15 051  =  1.123         (  2.1c  )

   Damit nimmt ( 1.3 ) die Form an

  (  8/7  )  ^  x  =  1.123    |   lg            (  1.3  )

   x  lg  (  8/7  )  =  lg  (  1.123  )          (  2.2  )

    lg  (  8  )  =  .9031            (  2.3a  )

   lg  (  7  )  =  .8451           (  2.3b  )

   lg  (  8/7  )  =  5.80  ( E-2 )      (  2.3c  )

    lg  (  1.123  )  =  5.04  ( E-2 )     (  2.3d  )

   Und die Lösung von ( 2.2 )

   x  (  min  )  =  504  :  580  =  126  :  145  =  .8690      (  2.4  )

  Woher weiß ich jetzt auf einmal schon wieder, dass es sich bei der kritischen Stelle um ein Minimum handelt? Ich werde ja nicht müde zu predigen, Ableiten is noch lange nich.  Es wäre besser gewesen, wir hätten vorher die Asymptotik von ( 1.1 ) untersucht.

   f  (  -  °°  )  =  0  -  0  -  3  =  (  -  3  )      (  2.5a  )

   f  (  0  )  =  5  -  6  -  3  =  (  -  4  )      (  2.5b  )

   f  (  1  )  =  5  *  8  -  6  *  7  -  3  =  (  -  5  )    (  2.5c  )

   Wir wissen schon, dass f ( 2 ) > 0 Diese Daten wären zunächst vereinbar mit einem Minimum in dem Intervall ( 0 ; 2 )  Wolfram gibt

    f  (  min  )  =  (  -  5.088  )      (  2.6  )

   Ich finde selbst dann, wenn eine elementar-algebraische Lösung der Gleichung zwar möglich scheint, aber der Aufwand unvertretbar hoch ist,  sind diese nummerischen Verfahren angezeigt. Wichtig ist aber immer, dass man Eindeutigkeit der Lösung zeigt bzw. ihre Anzahl feststellt.

   Betrachten wir der Vollständigkeit halber noch das Verhalten für ( + °° )

   f  (  x  )  =  [  5  -  6  (  7/8  )  ^  x  -  3  *  8  ^  (  -  x  )  ]  *  8  ^ x      (  2.7  )

  Der zweite und dritte Term in der eckigen Klammer haben einen negativen Exponenten und gehen somit gegen Null; Grenzwert der eckigen Klammer ist 5 , so dass wir schlussendlich sagen können, f divergiert wie die e-Funktion.

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