Frage zum exponentiellem Verfall?

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3 Antworten

Die allgemeine Formel (die man sich unbedingt merken sollte) lautet:

W(t)=W(0)*q^t

W(t)=Bestand zum Zeitpunkt t

W(0)=Anfangsbestand

q=(100+Änderung in Prozent)/100

t=Zeiteinheit (hier Woche)


Also setzen wir ein:

25=135*0.9^t


Nun wollen wir durch beideseitige Rechenoperationen die Variable t auf die eine Seite bringen, den Rest auf die andere. Wir teilen zunächst durch 135.

25/135=0.9^t

0.185185185=0.9^t


Nun sollte man folgende Regel kennen:

a^x=b ---> x=log(b)/log(a)

Dies resultiert aus der Logarithmusregel

log(a^x)=x*log(a).


Wir ziehen also auf beiden Seiten den Logarithmus.

log(0.185185185)=log(0.9^t)


Gemäß o.g. Regel ergibt sich:

log(0.185185185)=t*log(0.9) 


Wir teilen auf beiden Seiten durch log(0.9).

log(0.185185185)/log(0.9)=t

16.0059862=t


Aus Reflex würde man wohl abrunden ; darf man hier aber nicht. Das liegt daran, dass man hier streng genommen mit Ungleichungen rechnen muss,die habe ich der Einfachheit halber hier aber weggelassen, auf Wunsch kann ich die liefern.

Rundet man auf 16 ab, erhält man nicht 25ppm, sondern 25.0157725, liegt also drüber. Wenn man keine runde Wochenzahl angeben soll, reichen 25.0157725 Wochen als Ergebnis (kann man ja ggf. in Tage, Stunden etc umrechnen). Sollen runde Zahlen angegeben werden, nimmt man dann 17 Wochen.

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Die allgemeine Exponentialfunktion lautet: f(x)=ab^x
Hierbei ist a der Startwert (bei x=0 ergibt sich ja ab^0=a) und b ist der Änderungsfaktor; x die Zeit

ist die Abnahme 10%, dann ist der Änderungsfaktor 0,9 (100%-10%=90%=0,9)

=> f(x)=135 * 0,9^x

und das soll jetzt 25 ergeben:
25=135 * 0,9^x             |:135
5/27 = 0,9^x                 |ln
ln(5/27)=x * ln(0,9) |:ln(0,9)
ln(5/27)/ln(0,9)=x           |Taschenrechner
x=16,006
=> nach ca. 16 Wochen sind noch 25 ppm übrig

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f(x) = 135 * 0,9^x für den momentanen Wert

Dann einfach 25 einsetzen und x ausrechnen.

25 = 135 * 0,9^x                  | 135

0,185 ~= 0,9^x                    | log_0,9()

x = log_0,9(0,185) ~= 16

Überprüfen: 135 * 0,9 ^ 16 ~= 25,02

=> Ergebnis wäre 17, da nach 16 Wochen noch nicht ganz 25 ppm erreicht wurden.

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