Frage zum Drehmoment

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3 Antworten

Drehmoment M=Kraft F x Normalabstand l von dem Drehpunkt bis zur Wirkungslinie. Wenn der Normalabstand also größer (kleiner) wird, wird auch das Drehmoment größer (kleiner). Das selbe gilt auch für die Kraft (F=m x a). Das heißt wenn die Masse größer (kleiner) wird, wird auch das Drehmoment größer (kleiner).

Gruß, valeradi

Es ist schon richtig, wenn der Hebel der Kraft länger ist, dann ist am Drehpunkt bei gleicher Kraft mehr Drehmoment vorhanden. Umgekehrt aber ist es so, wenn sich die Masse der Kugenl auf den Kugelmantel konzentriert, dann erzeugt die Masse am Rande ein größeres Gegenmoment, Du brauchst also mehr Kraft, um eine Kugelschale mit gleicher Masse zu drehen

Schau Dir mal die Trägheitsmomente von einem Vollzylinder und einem Hohlzylinder hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment

an. Das Verhältnis ist sogar Quadrtisch!!

Du darfst das Eigengewicht der Kugel nicht vernachlässigen.

Größere Kugel → mehr Masse → mehr aufzuwendende Energie.

Gruß Berni

BBoyD 05.09.2013, 21:57

Und wenn die Kugeln gleich schwer sind?

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Unbestimmtheit 05.09.2013, 22:22
@BBoyD

dann sind beide kugeln gleich schwer zu bewegen.

skizzierte herleitung: das trägheitsmoment steigt mit r^2 und linear mit m. die rotationsenergie steigt mit omega^2 (winkelgeschwidigkeit) und linear mit dem trägheitsmoment.

halber radius -> doppelte rotationsgeschwindigkeit doppelter radius -> halbe rotationsgeschwindigkeit

einsetzen auflösen, müsste gleich sein.

der denkfehler, den du machst: du betrachtest das ganze genau falsch herum. Du willst ja nicht einen winzig kleinen massekern mit einer masselosen kugelhülle bewegen, sondern du musst die punkte auf der kugelschale bewegen.

stell dir einen winzig kleinen abshcnitt vor, da musst du ein teilchen nach vorn schieben. schaust du es dir winzig klein an, schiebst du es gerade aus, das kannst du mit jedem teilchen machen und dir wird klar, dass es keinen unterschied macht, wie groß der radius ist, da du es geradeaus schiebst. einmal schiebst du es gerade aus im kreis (klingt paradox ich weiß) und einmal schiebst du es geradeaus geradeaus.

hoffe du kannst es dir bildlich vorstellen. dann musst du einfach nur noch über alle massepunkte (es ist aus symmetriegründen bei allen gleich) aufsummieren und du bekommst dein ergebnis. ein massepunkt auf der großen ist zwar leichter, aber es gibt genau so viel mehr, dass das selbe gewicht raus kommt -> es wird die selbe kraft benötigt.

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Barney123 06.09.2013, 09:28
@Unbestimmtheit

dann sind beide kugeln gleich schwer zu bewegen.

Das ist definitiv falsch, Schau dir mal die Rotationsträgheitsmomente von Vollzylinder und Hohlzylinder hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment

an. Schreibe Dir die Formeln nebeneinander, setzte Zahlen ein und vergleiche! Weiter unten stehen sogar die Trägheitsmomente der Hohlkugel und der Vollkugel! sie sind nicht gleich, das Trägheitsmoment der Hohlkugel ist größer!

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Unbestimmtheit 06.09.2013, 17:29
@Barney123

Ich weiß nicht, irgendwie wurde hier viel aneinander vorbei geredet. Ich bin davon ausgegangen, dass beide Kugeln eine gleiche Masseverteilung haben, zB beides Hohlkugeln, nur die eine hat den doppelten Radius und dann ist es richtig.

Dass das Trägheitsmoment einer Hohlkugel (gleiche masse) größer ist als das einer Vollkugel, ist ja vollkommen klar.

Ich habe eben von der Antwort "größere Kugel -> mehr masse ...." und der darauf folgenden Frage "Und was ist wenn sie gleich schwer sind ? "

auf eine größere Kugel geschlossen, die eine gleichverteilte Masse und gleiche Masse hat, geschlossen. sonst vergleicht man ja Äpfel mit Birnen wie du auch schon erkannt hast.

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Barney123 07.09.2013, 10:01
@Unbestimmtheit

Ich bin davon ausgegangen, dass beide Kugeln eine gleiche Masseverteilung haben, zB beides Hohlkugeln, nur die eine hat den doppelten Radius und dann ist es richtig.

Nein, dann ist es immer noch nicht richtig! denn wenn die eine Kugel den Doppelten Radius bei gleicher Masse hat, ist das Trägheitsmoment einfach 4 mal so großß! Zumindest in einem homogenen Körper!

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Unbestimmtheit 08.09.2013, 12:07
@Barney123

so und da liegt nämlich DEIN fehler, weil du nur das trägheitsmoment betrachtest und nicht die rotationsgeschwindigkeit, die du für die berechnung der Rotationsenergie bzw der Kraft zum Beschleunigen brauchst

Beweis, dass beides gleich ist:

(das x ist immer ein Mal-Zeichen) k ist die konstante, die sich aus der integration ergibt, zb für eine vollkugel 2/5 oder für eine Kugelschale 2/3. das k´ berücksichtig den faktor 1/2 aus der kinetischen energie, da ist einfach alles zusammen gepackt, da es eh alles rausfliegt, das sieht man so besser.

j=k x m x r^2 e_rot=j x omega^2 = k´ x m x r^2 x omega^2 erot1=erot2 r´^2 x omega´2=r^2 x omega^2

r´=2r omega´=1/2 omega

4 x r^2 x 1/4 x omega^2 = r^2 x omega^2

Du hast vergessen, dass omega dann halb so groß ist und das wird ebenfalls quadriert. => beide kugeln haben bei gleicher geschwindigkeit die selbe rotationsenergie => wirkt auf beide Kugeln die selbe Kraft, werden beide gleich beschleunigt.

Ich hoffe mit dem Beweis ist es klar geworden.

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Unbestimmtheit 08.09.2013, 12:14
@Barney123

auch die Absätze werden von dieser absolut stupiden Eingabeoberfläche auf gutefrage.net völlig ignoriert. Dass hier kein latex unterstützt wird, ist schon schlimm bzw dass es keinen vernünftigen Formeleditor gibt - aber was hier sonst noch so mit dem Text gemacht wird, den man eingibt, ist eine Katastrophe. Ein Malzeichen wird einfach zur krusiven Schrift, Absätze werden gelöscht ..... Absolut unterirdisch.

Hoffe es ist verständlich, wo eigentich eine neue Zeile beginnen müsste...

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Barney123 09.09.2013, 09:08
@Unbestimmtheit

Das Trägheitsmoment ist ein Maß für die Kraft, die aufgewendet werden muss, einen Körper in Rotation zu versetzen, und damit auch ein Maß für die Rotationesenergie. Wenn man also einen Körper in rotation versetzen will, ist das Trägheitsmomkent das richtige Maß. Damit ist das oben etwas wirr. auch irgendwie unlesbar.

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Unbestimmtheit 09.09.2013, 14:41
@Barney123

Ich versuche noch ein letztes Mal, dir das in den Kopf zu bringen, ansonsten gehe ich davon aus du kapierst es einfach nicht.

Ja es ist das Maß für die Kraft, die aufgewendet werden muss, um seine Rotation zu ändern, sprich die Winkelgeschwindigkeit Wir reden von einer selben Translationsgeschwindigkeit, diese Kugel "rollt" also und hat die halbe bzw doppelte Winkelgeschwindigkeit.

Dem Energieansatz scheinst du nicht zu trauen, dann leite ich es noch einmal mit dem Trägheitsmoment her.

Um die Geschwindigekeit v0 zu erreichen, musst du den Körper mit der Winkelgeschwindigkeit w0 drehen. Ein doppelt so großer Körper braucht die Winkelgeschwindigkeit w0´=w0/2

Es gilt F=ma in der translation, analog dazu in der Rotation: M=Ja (Drehmoment=Trägheitsmoment*Winkelbeschleunigung)

Möchtest du einen Körper auf die Winkelgeschiwndigkeit w0 bringen, musst du also t0 Sekunden lang die Winkelbeschleunigung a leisten.

w0=t0*a <=> a=w0/t0

Es gilt also: M=J*(w0/t0)

Kugel 2 mit doppelter Größe hat die gestrichenen J´,M´etc .... J´=4J (Masse gleich, doppelter Radius, der quadriert wird)

Es gilt: M´=4J*(0.5w0/t0)

Es gilt also M´=2M

Das Drehmoment, was auf einen rotierenden Körper wirkt, ist gegeben durch

M=r*F

F ist die kraft, mit der man an der Kugel oder Scheibe oder Zylinder "schiebt", also die Kraft, die außen an der Kugelschale anliegt.

r´=2r

M´=2rF M=rF

Für M und M´ eingesetzt ergibt sich

2M=2rF´ und analog M=r*F

Aufgelöst nach F ergibt sich

F=M/r sowie F´=2M/2r => F=F´

Die Kraft, die für die Rotation aufgebracht wird, ist GLEICH !!!!

Für die Translation folgt aus dem trivialen Zusammenhang F=m*a selbiges

Die Summe der beiden Kräfte ergibt die gesamtkraft => beide Summanden sind gleich, daher ist die Gesamtkraft gleich !

q.e.d.

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Barney123 10.09.2013, 09:01
@Unbestimmtheit

Du bist viel zu kompliziert

Energieerhaltungssatz?

ganz einfach Ekin=1/2 J Omegaquadrat,

da J das Rotationsträgheitsmoment ist, steigt dies mit rquadrat. Siehe obigen Link. bei gleicher Masse

die Welt kann so einfach sein!

Glaube Du hast Dich in Deinen eigenen Herleitungen etwas vertan!

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