Frage zum Baumdiagramm -> Pfadregeln!

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Ich versuche mal, das an einem Beispiel deutlich zu machen. Sagen wir mal, du hast 5 Kugeln in einer Urne. 3 sind blau und 2 sind rot. Und nun ziehst du 3 daraus nacheinander mit zurücklegen. Dann zeigt dir das Baumdiagramm ja alle Möglichkeiten, die es gibt. Du kannst bei jedem Zug rot oder blau ziehen und am Ende hast du 3 Kugeln. Das sieht dann so aus wie auf dem ersten Bild. DIe Nummern sind die einzelnen Züge. Hinten die Punkte zeigen dir an, was du gezogen hast. Es sind also 8 verschiedene Ergebnisse, denn jedes dieser Dreierpunktdinger ist ein Ergebnis, also ein Ende eines Pfads.

Da 3 von 5 Kugeln blau sind, hat blau eine Wahrscheinlichkeit von 3/5 und genauso hat rot eine Wahrscheinlichkeit von 2/5. Da wir die nach dem Ziehen immer wieder reinwerfen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. Wenn wir also die Wahrscheinlichkeiten an die Äste schreiben, sieht es aus wie auf dem zweiten Bild.

Nun kommt die 1. Regel:

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längst des zugehörigen Pfads.

Das heißt, wenn du nun die Wahrscheinlichkeit von einem der Dreierpunkte rechts, also einem einzigen Ende haben willst, dann musst du dir den entsprechenden Pfad suchen und die Wahrscheinlichkeiten auf diesem Pfad multiplizieren.

Beispiel: Du wilst die Wahrscheinlichkeit für das ganz oben, also blau-blau-blau wissen, dann gehst du ja den Weg oben-oben-oben, also immer die blauen Linien entlang, bei jedem mal ziehen die blaue Linie wählen und die haben jeweils die Wahrscheinlichkeit 3/5, also hat das Ergebnis blau-blau-blau die Wahrscheinlichkeit: 3/5 * 3/5 * 3/5 = 27/125 = 0,216 = 21,6/100 = 21,6% (Prozent sind hunderstel)

Oder wenn du wissen willst, welche Wahrscheinlichkeit blau-rot-blau hat, dann ist das: 3/5 * 2/5 * 3/5 = 18/125 = 0,144 = 14,4%

Die zweite Regel sagt:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse die zu diesem Ereignis gehören.

Das heißt nun: Wenn du nicht nur die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ende haben willst, also unsere Dreierpunkte, sondern für ein Ereignis, dann musst du die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. Das wäre zum Beispiel sowas:

Ereignis: Eine der 3 gezogenen Kugeln ist blau.

Dann müsstest du alle Ergebnisse suchen, in denen genau eine blaue vorkommt, das wären hier also: blau-rot-rot, rot-blau-rot, rot-rot-blau. Dann rechnest du erstmal die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ergebnisse aus:

blau-rot-rot: p(brr) = 3/5 * 2/5 * 2/5 = 12/125 = 0,096 = 9,6 %

rot-blau-rot: p(rbr) = 2/5 * 3/5 * 2/5 = 12/125 = 0,096 = 9,6%

rot-rot-blau: p(rrb) = 2/5 * 2/5 * 3/5 = 9,6%

Logischerweise haben die alle dieselbe Warscheinlichkeit. So und das Ereignis "Von den 3 gezogenen Kugeln ist genau eine blau" hat dann also die Wahrscheinlichkeit:

p(eine blaue) = p(brr) + p(rbr) + p(rrb) = 9,6% + 9,6% + 9,6% = 28,8%

Es gibt auch Ereignisse wie "mindestens eine der 3 Kugeln ist blau", dann müsstest du alle zusammenzählen, bei denen eine, zwei oder drei blaue vorkommen. Viel einfacher geht es aber in dem Fall, dass du einfach nur das eine nimmst, wo gar keine blaue ist (rot-rot-rot) und dann 1-p(rrr) rechnest, denn alle Ergebnisse zusammen ergeben 1!

Verstanden? Kannst ja selbst mal probieren:

1.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man die Kombination blau-blau-rot?

2.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt man rot-rot-rot?

3.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man 2 rote Kugeln?

4.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man 3 blaue Kugeln?

und dabei bedenken: Ergebnis = ein einzelnes Pfadende und Ereignis = können mehrere Pfadenden zusammen sein

Wenn noch was unklar ist, sag Bescheid.

Aufbau Baumdiagramm - (Mathe, Mathematik, Wahrscheinlichkeit) Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten - (Mathe, Mathematik, Wahrscheinlichkeit)
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Sehr gute, ausführliche und anschauliche Anwort (DH!)

LG.

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