Frage zu zyklischen Gruppen?

2 Antworten

Vergleichbar heißt, dass man entscheiden kann, ob die eine kleiner als die andere oder umgekehrt ist. Und kleiner bezieht sich auf die betrachtete Ordnung, das ist hier die Inklusion. Bezüglich der Inklusion ist eine Menge kleiner als die andere, wenn sie vollständig ihr enthalten ist.

Also:

A ist genau dann kleiner als B, wenn A eine (nicht notwendig echte) Teilmenge von B ist. B ist genau dann kleiner als A, wenn B eine (nicht notwendig echte) Teilmenge von A ist. Ist keines von beiden gegeben, so sind A und B nicht vergleichbar.

Also: A={a,b,c} und B={a,b} sind vergleichbar, denn B ist eine Teilmenge von A.

A={a,b,c} und B ={c,d} sind nicht vergleichbar, denn weder ist B eine Teilmenge von A noch ist A eine Teilmenge von B.

Untergruppen können vergleichbar sein. So ist immer die triviale Untergruppe {e} in allen anderen Untergruppen enthalten, ich kann also {e} mit jeder anderen Untergruppe vergleichen, genauso kann ich die gesamte Gruppe auch mit allen anderen Untergruppen vergleichen. Aber es kann eben auch Untergruppen geben, die nicht vergleichbar sind: Die Gruppe G={0,...,5} mit der Addition modulo 6 hat die Untergruppen

E={0}, G

A = {0,3}

B={0,2,4}

E kann man mit jeder Untergruppe vergleichen, G auch. A kann ich mit E und G vergleichen (E ist "kleiner" als A, A ist "kleiner" als G), das gleiche gilt für B. Aber A und B sind nicht vergleichbar - A ist nicht in B enthalten, B nicht in A, also sind die beiden nicht vergleichbar.

Die Aussage der Aufgabe ist nun, dass die beiden Aussagen gleichwertig sind:

  1. Alle Untergruppen einer Gruppe sind vergleichbar (das bedeutet hier gerade "vollständig geordnet").
  2. Die Gruppe ist zyklisch mit |G| = p^n, p prim.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Ok es gibt also die Untegruppen:

G1 = [1]

G2 = [17, 1]

G3 = [9, 17, 25, 1]

G4 = [3, 9, 27, 17, 19, 25, 11, 1]

Es lässt sich beobachten, dass G1 Teilmenge von G2 ist, G2 Teilemge von G3 ist, G3 Teilemge von G4 ist. Somit sind die Gruppen vergleichbar

Und:

3 ist Generator von G4 mit | G4 | = 2^3

3^2 ist Generator von G3 mit | G3 | = 2^2

(3^2)^2 ist Generator von G2 mit | G2 | = 2^1

((3^2)^2)^2 ist Generator von G1 mit | G1 | = 2^0

Aber wie lassen sich diese Beobachten theoretisch erklären?

0
@Daubeny

Ich skizziere mal einen ersten Schritt:

Angenommen, alle Untergruppen sind vergleichbar.

Ich zeige zuerst, dass G dann zyklisch ist.

Sei a ein beliebiges Element von G, <a> sei die von a erzeugte Untergruppe.

Angenommen, <a> ist nicht gleich G. Dann gibt es ein a' aus G \ <a>. Das Erzeugnis von <a'> ist ja auch eine Untergruppe von G, muss also mit <a> vergleichbar sein. Da a' in <a'> aber nicht in <a> liegt, muss <a> eine Teilmenge von <a'> sein. Auf diese Weise lässt sich eine Folge von aufsteigenden Untergruppe <a>, <a'>, <a''>... bilden, die immer echt in einander enthalten sind. Da G endlich ist, muss irgendwann <a''..'''> = G gelten und damit haben wir einen Erzeuger von G gefunden, G ist also zyklisch.

Das schon mal als erster Schritt. Schau dir das mal an. Jetzt kommt es auch ein bisschen darauf an, was ihr ansonsten schon über zyklische Gruppen gibt. Welche Untergruppen haben denn zyklische Gruppen auf jeden Fall? Was würde passieren, wenn es zwei Untergruppe gegen würde, bei der die Mächtigkeit der einen kein Teiler der Mächtigkeit der anderen ist? Könnten die vergleichbar sein?

0

Vollständig geordnet heißt: Je zwei Untergruppen sind vergleichbar, d. h. entweder ist die eine in der der anderen enthalten oder umgekehrt.

In deinem Beispiel gilt das ja:

Du hast in Wirklichkeit ja nur vier Untergruppen (inkl. der Gruppe selbst)

{1}

{1,17}

{1, 9, 17, 25}

{1, 3, 9, 11, 17, 19, 25, 27}

Und für die gilt das.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Vielen Dank schon mal für die Antwort. Aber was heisst denn vergleichbar? Was wäre nicht vergleichbar? Sind die Untergruppen nur vergleichbar, wenn |G| = p^n ist ?

0
@Daubeny

Siehe oben: Die Aufgabe behauptet, dass genau dann ALLE Untergruppen von G vergleichbar sind, wenn |G| = p^n ist. Das heißt nicht, dass nicht auch sonst einzelne Untergruppen vergleichbar sein müssen (manche sind sogar immer vergleichbar).

0

Was möchtest Du wissen?