Frage zu Spieletheorie, Berechnung des Erwartungswerts als integral für spezielle Lotterie?

1 Antwort

Was soll denn für x in [0,1] erlaubt sein? Alle reellen Zahlen? Nehmen wir einmal an, es gäbe eine "Zufallsmaschine" die solche Zahlen würfeln könnte.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte müsste 2(1-x) sein, denn das Integral von 0 bis 1 über alle Möglichkeiten muss 1 ergeben. Aber jede einzelne Zahl x hat Wahrscheinlichkeit Null!

Wenn der Gewinn gleich 1000 x ist, dann ist der Erwartungswert gleich dem Integral von 0 bis 1 über 1000 x 2(1-x) dx, das gibt 2000 / 6.

Vielleicht sollte man nur Zahlen n/1000 zulassen, n von 0 bis 1000. Dann hast du eine diskrete Verteilung, in der jede Zahl auch eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Das kannst du auf ähnliche Weise durchrechnen, nur hast du statt Integralen jetzt Summen.

Hm, sagen wir mal x verlauft in Schritten
0
0,01
0,02
...
0,99
1

sind ziemlich genau 101 mögliche ergebnisses.

wahrscheinlichkeit p(x) sollte nun auch in ebenso viele schritte unterteilt sein.
Sehe ich das recht dass die summe aller Wahrscheinlichkeiten,
also

p(0)+p(0,01)+...+p(0,99)+p(1) gleich 1 sein muss?

dann müsste, falls sich die wahrscheinlichkeit pro schritt um 0,01 bei x um k ändert
(bspw. 0,03=0,02+0,01, deshalb p(0,03)=p(0,02)+k) , doch gelten

1=summe aller p(xi)
=p(0)+(p(0)+k)+(p(0)+2k)+...+(p(0)+100*k)
=101*p(0)+k*(summe der zahlen von 1 bis 100)
=  100*101/2
=101p(0)+5050k

Aber wird, wenn ich da jetzt ein passendes paar (p(0),k) wähle, auch gleichzeitig berücksichtigt dass keiner der p(xi) gleich 1 oder 0, sind nur dazwischen, sein darf?

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@densch92

Ja, p(0)+p(0,01)+...+p(0,99)+p(1) muss gleich 1 sein.

Ja, du musst nur bei der Wahl von p(0) und k aufpassen, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht negativ werden. k muss also sehr klein sein, z.B. k=0 (Gleichverteilung) oder k=1/5050, dann ist p(0) = 2/101 und p(1) = 0

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@eterneladam

hm, ich bin gerade etwas überfragt. Sagen wir bei p(0) soll das maximum liegen welches unter 1 liegt.
Und bei P(1) das minimum welches aber noch größer 0 ist.
Wie könnte ich da jetzt mit meiner bedingung oben
ein passendes p(0) und k wählen?
(klar, es muss 1=101p(0)-5050k sein da streng monoton fallend)

wenn ich beispielsweise p(0)=0.99 festlegen würde und p(1)=0.001 festlegen würde, könnte ich durchaus das entsprechende k ermitteln (distanz zw. p(0) und p(1) geteilt durch 100=k)

Aber das würde dann ja nicht wirklich die bedingung mit der 1 erfüllen.
Wie könnte ich hier passende werte wählen?

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