Frage zu Riemannscher Vermutung?

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3 Antworten

Generell definiert man sich sachen wie 2^b= e^(ln(2^b)):=e^(b *ln(2)). Wenn dein b jetzt eine Komplexe Zahl ist, musst du die Eulersche Identität benutzen:

e^(x * i)=cos(x)+i * sin(x).

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Hi, einige gute Fragen dabei. Ich gehe mal nicht weiter auf die Riemannsche Vermutung ein, sondern beschränke mich auf die "komplexe Potenzen" der Form x^(a+bi). 

Wie du schon erkannt hast, gelten im Komplexen die üblichen Rechenregeln für Potenzen leider nicht alle. Ich verweise dich mal auf diesen Beitrag, dort wird einiges erklärt: http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=46926&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

Zum Glück gilt aber weiterhin, dass x^(a+b) = (x^a) * (x^b). Also kannst du schreiben 

2^(a+bi) = (2^a) * (2^(bi)). 

Hilft dir aber immer noch nicht weiter, da du nun den Ausdruck (2^(bi)) irgendwie vereinfachen muss. Schreiben wir zuerst mal um auf die Basis e:

(2^(bi)) = e^(ln(2)*bi)

Und hier kommt nun die "Eulersche Formel" ins Spiel. Diese besagt, dass für eine reelle Zahl y gilt:e^(yi) = cos(y) + i * sin(y)Sieht erst mal total verrückt aus, da man keine Ahnung hat wie dort der Sinus und Cosinus ins Spiel kommen.Hilft aber weiter, da in unserem Fall das y einfach ln(2)*b ist und wir erhalten somit:

e^(ln(2)*bi) = cos(ln(2)b) + i*sin(ln(2)b)

Fassen wir mal alle Schritte zusammen:

2^(a+bi) = (2^a) * (2^(bi)) 

= (2^a) * e^(yi) 

= (2^a) * (cos(ln(2)b) + i*sin(ln(2)b))

und schon hast du genau das was Wolfram Alpha dir auch erzählt. 

Also gelöst über Potenzgesetz (drauf achten welche wirklich im Komplexen gelten!) und Eulersche Formel. 

Wie kann man sich diese Eulersche Formel jetzt erklären? Da gibt es im Internet wirklich 100+ Erklärung, alle mehr oder weniger gut. Die, meiner Meinung nach beste Erklärung wird in diesem Youtube Video (auf Englisch) geliefert:

Wirklich schön erklärt und nach dem Video solltest du alles verstanden haben!

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1. die Dirichlet reihe ist nur definiert für Re (s) >1; für dieses Gebiet speilt die RH keine rolle, weil die Nullstellen alle im kritischen Bereich liegen

2. die nicht-trivialen Nullstellen der Zeat-Funktionen sollen Gemäß RH alle auf der kritischen Linien liegen, d.h. 1/2+it; also für s=1/2+it gilt in dem (nicht bewiesen Fall) Zeat(s)=0

3. das unter Punkt 2 ist etwas anderes als ImZ(s)=ReZ(s)=0, das heisst, dass jeweils Imaginär- oder Relateil der Zeat-Funktion gleich Null ist; das ist etwas anderes; es gibt noch die trivialen Nullstellen der Zeat-Funktionewn, das sind alle Werte -2n, wobei n alle natürlichen Zalhen durchläuft

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Kommentar von densch92
02.02.2017, 23:35

Okay, das versteh ich ehrlich gesagt nicht. :-)

Was genau ist da mit Nullstelle gemeint?
Wäre eine triviale Nullstelle dann sowas, bei dem Im UND Re  gleich Null sind?
Und nicht trivial, wenn Entweder Re oder Im 0 ist (aber nicht beide)?

Dass laut Riemann die s für eine Nullstelle die Form 1/2+i*t haben sollen, hab ich soweit verstanden.
Mich hat nur verwirrt, was genau mit einer Nullstelle bei einer komplexen Funktion gemeint war.

Was meinst du eigentlich mit RH? :-)

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