Wie komme ich bei quadratischen Funktionen von der Normalform zur Scheitelpunktform?

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5 Antworten

Guck mal auf YouTube (beckuplearning) der hat zu diesem thema ein video und so hat es meine gesamte klasse verstanden! Er erklärt das super und verständlich. Nur zu empfehlen.

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Kommentar von SamiKeeks
08.12.2015, 18:09

das ist besser als wenn es dir hier jemand erklärt, er hag ein spezielles video dazu Gemacht.

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Du musst im Prinzip die binomische Formel anwenden.
Die 2 hier:
a²-2ab+b²

a² ist hier = 2x² also ist a die Wurzel 2 und x

Das bedeutet du musst auf das zweite schließen.
Wurzel 2 multipliziert mit 2 und b = 6. B dann ausrechnen.

Das ist dein B. Das muss nun quadratisch ergänzt werden. Das heißt du addierst es einmal dazu und ziehst es einmal ab.

Das bedeutet du kannst die ersten 3 Teile nun in der binomischen Formel zusammenfassen. Die anderen 2 stehen außerhalb der Klammer. Die fasst du auch zusammen und fertig ist deine SPF

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  Schön wenn du quadrartische Ergänzung kannst; leider alles zu kompliziert. Erst mal hast du keine Normalform; die wäre

   x  ²  -  p  x  +  q    (  1a  )

   p  =  3  ;  q  =  5/2    (  1b  )

   x0  =  p /2 = 3 /2    (  1c  )

   Warum gilt ( 1c ) ? Mit dem Satz von vieta hast du

   p  =  x1  +  x2  =  3      (  2  )

   Der Scheitel liegt aber immer symmetrisch in der Mitte zwischen den beiden Knoten.

  Das zweite mögliche Verfahren arbeitet nicht mit der Normalform; es ist das von mir entwickelte " Fortschmeißverfahren " , bei dem du einfach das Absolutglied weg schmeißt.

  F  (  x  )  :=  2  x  ²  -  6  x  =    (  3a  )

                  =  2  x  (  x  -  3  )    (  3b  )

        X1  =  0  ;  X2  =  3    (  3c  )

  Abermals ergibt sich x0 ( siehe ( 1c ) ) als aritm. Mittelwert der beiden Wurzeln X1;2 in ( 3c )

  Begründung: x0 ändert sich nicht, wenn du die Parabel 5 Einheiten nach Unten schiebst.

  Das wohl mit abstand beliebteste Verfahren ist die ===> Differenzialrechnung der höheren Matematik; sowas kann man lernen. Die ===> erste Ableitung musst du Null setzen:

   f  (  x  )  :=  2  x  ²  -  6  x  +  5     (  4a  )

   f  '  (  x  )  =  4  x  -  6  =  0  ===>  x0  =  3/2    (  4b  )

   Jetzt must du nur noch das gefundene x0 in ( 4a ) einsetzen - am Besten mit dem Hornerschema.

     p2  (  f  )  =  a2  (  f  )  =  2       (  5a  )

     p1  (  f  ;  x0  )  =  p2  x0  +  a1  (  f  )  =  2 * 3/2  -  6  =  (  -  3  )    (  5b  )

     p0  (  f  ;  x0  )  =  p1  x0  +  a0  (  f  )  =  - 3 * 3/2  +  5  =  1/2  =  f  (  x0  )  =  y0     (  5c  )

      f  (  x  )  =  a2  (  x  -  x0  )  ²  +  y0     =     (  6a  )

                   =  2  (  x  -  3/2  )  ²  +  1/2    (  6b  )  ;  Probe !

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y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v können aus a, b und c berechnet werden -->

u = -b / (2 * a)

v = (4  * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

---------------------------------------------------------------------------------------------------

y = 2 * x ^ 2 - 6 * x + 5

a = 2 und b = -6 und c = 5

u = -(-6) / (2 * 2) = 3 / 2

v = (4 * 2 * 5 - (-6) ^ 2) / (4 * 2) = 1 / 2

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

y = 2 * x ^ 2 - 6 * x + 5 = 2 * (x - 3 / 2) ^ 2 + 1 / 2

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