Frage zu Pythagoras?

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9 Antworten

Alle Angaben sind schon mit der längeren Kathete ausgedrückt

=> x für diese verwenden

längere Kathete:   x

kürzere Kathete:  3/4 *x

Hypotenuse:         x+4

Pythagoras:   

(x+4)² = x² + (3/4 * x)²

x² + 8x + 16 = x² + 9/16* x²  

9/16 x² - 8x - 16 = 0   |*16

9 x² - 128x - 256 = 0

abc-Formel

oder pq-Formel (dann aber :9)

...

Lösungen:

x1= -1,78   (irrelevant, weil die Aufgabe keine negativen Längen kennt)

x2= 16

damit kann man nun die Länge der kürzeren Kathete und der Hypotenuse berechnen.

längere Kathete:   x          = 16 cm

kürzere Kathete:  3/4 *x    = 3/4 * 16cm = 12 cm

Hypotenuse:         x+4       = 16 cm + 4 cm = 20 cm

Probe:   

20² = 400

16² + 12² = 256 + 144 = 400     wahr

a²+b²=c²

x²+(3/4x)²=(x+4)²

Daraus x bestimmen, die Länge der längeren Kathete. Daraus die Länge 3/4x der kürzeren Kathete und die Länge x+4 der Hypothenuse.

Du must erst funktionsgleichungen aufstellen. AuflösenDen Auflösen, ist auf den ersten Blick eher eine" Gleichungs- knobelaufgabe"

Mach dir eine Skizze, die ist sowieso Voraussetzung zum Verstehen! Die lange Kathete bezeichnest du als x und die beiden anderen Seiten stzt du dazu ins genannte Verhältnis. Dann einfach Pythagoras anwenden!

Formel aufstellen, und nach allen drei Seiten auflösen.

So wie das beschreiben, ohne Maße, ohne Dimensionen, können da nur Verhältnisse, "Bruchteile", herauskommen.

Ich will das nicht weiter verklaren. Selber denken (und finden) ;-)

  Es wird dir doch schon vorgekaut; schon mal von ===> primitiven Pytagoreischen Tripeln ( PPT ) gehört? Das kleinste überhaupt mögliche Tripel liegt hier vor.

   a  :  b  :  c  =  3  :  4  :  5    (  1  )

  Also b ist 4 x und c = 5 x

   4  x  +  4  =  5  x  ===>  x  =  4     (  2  )

   Eigenleistung; traust  du dich jetzt a , b und c hinzuschreiben?

Die kurze Kathete ist a, die lange b, die hypotenuse c (Die Einheiten werde ich der Einfachheit halber weglassen)::

a = 3/4 * b
4/3 * a = b  (A)

c = b + 4  | Einsetzen von (A)
c = 4/3 * a + 4  (B)

Satz des Phytagoras:

a² + b² = c²  | Einsetzen von (A)
a² + (4/3 * a)² = c²  | Einsetzen von (B)
a² + (4/3 * a)² = (4/3 * a + 4)²  | Auflösen mit 1. binomischer Formel
a² + 16/9 * a² = 16/9 * a² + 2 * (4/3 * a) * 4 + 16  | Vereinfachen
25/9 * a² = 16/9 * a² + 32/3 * a + 16
a² - 32/3 * a - 16 = 0  | Auflösen mithilfe der Lösungsformel für quadr. Gleichungen

a1 = 12; a2 = -4/3

Da die Länge einer Seite eines Dreiecks nicht negativ sein kann, ergibt nur die erste Lösung hier Sinn. Das heißt, a = 12

Einsetzen in (A):

4/3 * 12 = b
16 = b

Einsetzen in (B)

c = 4/3 * 12 + 4
c = 20

Lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten:
a = b•3/4
b = c-4
a²+b² = c²


HCS41 18.01.2017, 22:00

seit wann ist
a²+b² = c²

linear?

1

Die gesuchten Größen sind 12, 16 und 20 Zentimeter.

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