Frage zu Mathematik 10. Klasse Trigonometrische Funtionen?

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4 Antworten

3d)

Da der sin und cos, versetzt sind und aller 2*Pi periodisch sind und die Krümmung innerhalb einer Periode sich 1x ändert (also eine links-Kurve, eine Rechtskurve) müssen sie sich in jeder Periode 2x Schneiden.

Da sie zudem innerhalb einer Periode Punktsymmetrisch sind, müssen die Schnittpunkte in regelmäßigen Abständen auftreten, weshalb die Schnitte aller 1*Pi auftreten.

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Anschaulich ist dies auch in den Graphen oberhalb der Aufgabe dargestellt.

Also die Antwort für die 2a) findest du rechts oben in deinem Bild in Kombination mit den Funktionsgraphen unter der Frage (aber eig. reicht die Tabelle, bzw. so einen Wert kann man sich schon mal merken :) )

Okay eins muss man evt. dazu erwähnen.

Die Tabelle ist im Gradmaß. Also sin(30°)=0,5

Jetzt gibt es aber auch noch das sogenannte Bogenmaß. Das ist einfach eine andere Einheit (Wie kg und g, nur dass die Umrechnung etwas komplexer ist).
Du kennst doch sicherlich die Formel für den Kreisumfang? Genau: U=2*Pi*r (Also ein ganzer Kreis (volle 360°) sind 2Pi mal dem Radius)

Ok, mit dieser "Eselsbrücke" (Was sicherlich auch mit der Herleitung der Einheit zu tun hat) im Hinterkopf schauen wir uns mal ein paar Beispiele für die Umrechnung an.

(rad ist das Einheitenzeichen für Bogenmaß, meist lässt man es jedoch weg; aus Verständnisgründen, über welche Einheit ich rede schreibe ich aber trotzdem immer rad mit dazu)

0°=0rad (Kein Stück vom Kreis)
45°= (0,5*Pi)rad (ein Viertelkreis entspricht einem halben Pi)
180°=(1*Pi) rad (ein Halbkreis ist ein Pi)
360°=(2*Pi) rad (oh da steckt ja das aus dem Kreisumfang drin)

Test: Was sind dann wohl 90°? (Auflösung unten)

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Allg. Umrechnung:

Grad -> Bogenmaß / Rad

1° = (1°/360°) * 2Pi [rad] = 0,017 [rad]

Bogenmaß / Rad -> Grad

1 [rad] = (1/(2Pi))*360° = (1/Pi)*180° = 57,30°

Also immer das Verhältnis der Vorhanden Winkels zum Vollkreis der einen Einheit (x/360° oder x/2Pi) multipliziert mit dem Vollkreis der anderen Einheit (*2Pi oder *360°)

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Und da eure Tabelle einfach nur dämlich zu merken ist:

                         sin                     cos

0°                      (-/0')/2  =0        (-/4')/2  =2/2=1                
30°                    (-/1')/2 =1/2        (-/3')/2
45°                    (-/2')/2                (-/2')/2   
60°                    (-/3')/2                (-/1')/2 = 1/2
90°                    (-/4')/2  =2/2=1    (-/0')/2  =0 

Also einfach nur Wurzel aus (1,2,3 oder 4) durch 2; Auf 1,2,3,4 kommst du durch einfaches Zählen und dem Merken der Werte 0 30° 45° 60° und 90° -> Und ein Startwert für 0° (also z.B. sin(0°)=0) musst du dir halt noch merken.

Wenn du dir jetzt noch die Werte für -/2'/2 = 0,707 und -/3'/2 = 0,866 merkst hast du alle Werte die du brauchst (aber das ist jetzt wirklich optional, dem Lehrer wird auch -/2'/2 als Antwort reichen)

-/ ' soll das Wurzelzeichen sein

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90° = 0,5*Pi rad = 1/4 *2*Pi rad (Also ein Viertelkreis)
Nach Umrechenformel:
90° = (90/360) *2Pi        -> 9/36= 1/4 

0

3c)

Kann ich nur nochmal auf die Erklärung zur 3b) verweisen. Ist im Prinzip das gleiche, nur genau umgekehrt.

3b)

Da, wie du in den Funktionsgraphen erkennst, die sin, cos Funktionen sich ins unendlich wiederholen (immer zwischen [-1;1]), und diese Wiederholung immer nach 2Pi statt findet, kannst du vereinfachen:

sin(x*Pi)=sin((x-2k)*Pi) (für k aus Z)    | Du darfst in der Klammer beliebig oft 2Pi abziehen, oder dazuaddieren.

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Bsp.:

sin(3Pi)=sin(Pi)=sin(180°)= 0

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sin(12,35*Pi)=sin((12,35-12)*Pi)=sin(0,35*Pi)=sin(0,35*180°)=sin(63°) 
Das sind nach der Tabelle von dir ungefähr: 0,5*-/(3)' = 0,886
Oder wenn du es mit dem TR genau ausrechnest: 0,891

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