Frage zu Intervallen und so?

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3 Antworten

Zu den Intervallen:
Beide Intervalle haben die Länge 1, weil man die Länge eines Intervalls unabhängig davon definiert, ob die Randpunkte enthalten sind (in jedem Fall also als b-a). Man kann sogar zeigen, dass man abzählbar viele Punkte aus dem Intervall entfernen kann, und erhält trotzdem dieselbe Länge.
Die Mächtigkeit ist in beiden Fällen gleich die Mächtigkeit aller reellen Zahlen, also überabzählbar unendlich.

Zum Integral:
Das Integral nimmt nur über Mengen mit einer Länge >0 einen Wert >0 an, also muss die Menge aller Punkte, an denen die integrierte Funktion nicht stetig ist, die Länge 0 haben. Somit ist es egal, welchen Wert die Funktion an einzelnen Stellen hat, dein Beispiel kann für x=2 auch den Wert 7000 annehmen und das Integral bleibt gleich.
Wenn du das ganze wie beim Riemann Integral mit Rechtecken annäherst, so wird das Rechteck, welches die Unstetigkeitsstelle enthält, unendlich klein, und die restlichen nähern sich dem Flächeninhalt ohne diese Stelle an.

Deine Fragen hängen alle irgendwie zusammen. Ich fange mal mit der (für mich) einfachsten an:

Ist 0,9999.... in [0,1[ enthalten?

Nein, denn 0,999.... ist (wie du selbst richtig erwähnst) dasselbe wie 1. Es sieht zwar kleiner aus als 1, aber die Dezimaldarstellung ist in diesem Fall irreführend.

Warum darf ich 0 <= x < 1 genauso integrieren wie 0 <= x <= 1?

Klar, wenn du nur 0<=x < 1 integrierst, fehlt dir irgendwie die Fläche unter dem Graphen an der Stelle x = 1. Aber wie sieht denn diese "Fläche" aus? Das ist ja einfach nur eine Strecke, d.h. ein eindimensionales Gebilde im zweidimensionalen Raum. 

Wenn man will, kann man es sich als ein Rechteck vorstellen, das zwar eine Länge hat, aber keine Breite (oder Breite 0). Dieses Rechteck hat damit aber auch den Flächeninhalt 0; d.h. was dir bei 0 <=x < 1 an Gesamtfläche fehlt, sind 0 Flächeneinheiten. Also fehlt dir im Prinzip gar nichts (mathematischer Ausgedrückt: Der Abschnitt unter dem Graphen bei x = 1 ist eine "Nullmenge" - einfach mal nach dem Begriff googlen).

Wie groß ist [0,1[?

Kommt drauf an, wie du "Größe" definierst... Es enthält überabzählbar viele Elemente; genauer: Es hat dieselbe Kardinalität wie die reellen Zahlen. Du kannst nämlich leicht eine surjektive Abbildung von [0,1[ in die reellen Zahlen finden. Übrigens hat es damit dieselbe Mächtigkeit wie auch [0,1].

Die Länge des Intervalls ist 1 - 0 = 1. Hier gilt dasselbe wie oben: Die Länge ist der Maßwert, den [0,1[ annimmt. Aber weil bei [0,1[ nur {1} fehlt, um daraus [0,1] zu machen und {1} eine Nullmenge in den reellen Zahlen ist ({1} ist ein 0-dimensionales Objekt im eindimensionalen Raum; es hat keine Länge), haben [0,1[ und [0,1] dieselbe Länge.

Die Kommazahlen bei einem Computers sind durch die Stellenanzahl begrenzt. Es sind freilich sehr viele Stellen, aber letzen Endes habe ich eine endliche Anzahl an Zufallszahlen zwischen 0 und 1.

Lasse ich eine Zahl weg, etwa die 1, hat es einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, mit random() eine bestimmte Zahl zu bekommen.

Um das zu berechnen, muss man wissen, wieviele Zahlen es gibt. Betrachte den Datentyp und seine Möglichkeiten.


In einem Intervall ist die Anzahl der Punkte jedoch unendlich, da ich die Begrenzung durch die Stellenanzahl nicht habe. Wenn ich eine Zahl kleiner 1 nenne, kann ich dazu eine weitere finden, die größer ist als meine Zahl, jedoch immer noch kleiner als 1.

Das läuft letzlich auf den Beweis gleicher Mächtigkeit zweier Mengen durch eine
bijektive Zuordnung zwischen beiden hinaus.

Auf jeden Fall ist die Länge der Intervalle [0;1[ und [0;1] gleich und auch Flächen die sich nur dadurch unterscheiden, ob die Grenzlinie noch dazu gehört, sind ebenfalls gleich groß.

densch92 24.11.2016, 06:42

Hm, stimmt.
Sagen wir mal 0,01 ist das kleinste was darstellbar ist.
Dann gäbe es bei [0,1] insgesamt 101 verschiedene Zahlen , wenn ich das recht sähe.
Nähme man die 1 raus, wärens nur 100 Zahlen(0,00-0,99).
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit, gerade die fehlende 1 zu treffen, 1/101 sein.

Wenn ich so drüber nachdenke, wäre im Fall inklusive 1 es gar nicht möglich, 2 Hälften zu finden, deren wahrscheinlichkeiten gleich sind.
Denn 101 Zahlen lassen sich nicht in 2 Gruppen mit gleicher Anzahl aufteilen.
Von daher würden sich da immer die Wahrscheinlichkeiten um 1/101 unterscheiden.

Würde ich dagegen die 1 weglassen , wären die Wahrscheinlichkeiten für 0-0,49 und 0,5-0,99 ironischerweise gleich da jeweils 50 von insgesamt 100 Zahlen.

Das erklärt auch warum bei math.random() zwar die 0 dabei ist, aber im Ausgleich dazu die 1 fehlt.

Ich fühlle mich irgendwie ein Stück schlauer! :-D

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