Frage zu Gleichungsumformungen mit konjugiert komplexen Größen?

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5 Antworten

Du kannst jede Zahl z durch ihr komplex Konjugiertes z* (auch z̄) ersetzen, ohne dass sich an der Struktur, namentlich also an den Rechenregeln, dass Geringste ändert. Tatsächlich ersetzt Du dabei i durch −i und umgekehrt.

Die Konjugation vertauscht mit allen 4 Grundrechenarten, d.h.

(1.1) (z + c)* = z* + c*
(1.2) (z – c)* = z* – c*
(1.3) (z•c)* = z*•c*
(1.3) (z/c)* = z*/c*

Dies kannst Du für die Addition und Subtraktion am besten aus der Form

(2.1) z := x + iy
(2.2) c := a + ib

herausfinden, für Multiplikation und Division ist die Polarform

(2.3) z = |z|•e^{iφ}
(2.4) c = |c|•e^{iψ}

geeigneter. Das Konjugierte bekommen wir auch hier heraus, indem wir i und -i miteinander vertauschen.

Bemerkung: Wegen dieser Austauschbarkeit bevorzuge ich für die Relativitätstheorie die Konvention, nach der raumartige Abstände als imaginär dargestellt werden.

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Deine Darstellung sagt mir nichts, sorry.

Ich kann dir jedoch folgendes sagen :

Addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder potenziert man zwei komplexe Zahlen der Formen u_1 + v_1 * i und u_2 + v_2 * i miteinander, dann erhält man erneut eine komplexe Zahl u_3 + v_3 * i

Selbstverständlich können u_Index und v_Index auch identisch sein.

u = Realteil

v = Imaginärteil

Die Logarithmusfunktion, die Exponentialfunktion, die trigonometrischen Funktionen, die Hypergeometrischen Funktionen und bestimmt auch noch ein paar andere auf eine komplexe Zahl angewendet, ergibt wieder eine komplexe Zahl.

Anmerkung :

Dabei kann es durchaus auch mal passieren, dass der Imaginäranteil Null wird, es also auch mal eine reelle Zahl als Ergebnis geben kann.

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Kommentar von charles2520
15.07.2017, 14:20

also meine Darstellung (mit Realteil a und Imaginärteil b):

z= a+ib

z*=a-ib (konjugiert komplex)

ich möchte eigentlich nur wissen, ob man * generell als "Operator" für Gleichungsumformungen nutzen kann..

z.B.  S= U x I*   (alles komplexe Größen)

 <=> I* = S/U   | *

        I= S*/U* = (S/U)*  ?

Also kann man generell so Gleichungen umformen?

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a + b i          a - b i

Du kannst alle Rechnungen wie gewohnt ausführen
Mit der Besonderheit          i² = -1      (Nicht das √-Zeichen verwenden!)


a + bi  +  a - bi    =  2a
a + b - (a - bi)    =  2bi
(a + bi) * (a - bi)   =  a² - i²   =  a² + b²              3. Binomische Regel
(a + bi) / (a - bi)   = (a² + b²) / (a² - 2abi - b²)       nach Erweiterung mit (a-bi)

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Kommentar von charles2520
15.07.2017, 14:48

es geht hier um ein konkretes Beispiel aus der Elektrotechnik:

S=U x I* (komplexe Scheinleistung=komplexe Spannung mal konjugiert komplexe Stromstärke)

In einer Vorlesungsfolie wird diese Gleichung ganz selbstverständlich nach I aufgelöst:

Es steht nur da: I= S*/U*   

deswegen meine Frage: Kann man mit dem Operator * (für konjugiert komplex) einfach direkt solche Gleichungen umstellen?

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Beispiel :

(5 + 0 * i) = (1 + 2 * i) * (1 - 2 * i)

(1 - 2 * i) = 5 / (1 + 2 * i)

(1 + 2 * i) = (5 - 0 * i) / (1 - 2 * i)

Du hast also Recht.

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Überleg es dir doch an einem Beispiel.

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