Frage zu euklidischen Ringen, Ringhomomorphismen und komplexen Zahlen?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe - (Mathematik, Algebra)

4 Antworten

Für die a) schreibst du dir einfach auf, was f(x+y) und was f(x)+f(y) ist, und zeigst, dass das das gleiche ist.

Marvib16 03.11.2016, 16:03

Wie meinst du des einfach aufschreiben? 

Ich muss doch theoretisch einfach in die eine Gleichung etwas einsetzen und dann in die anderen und dann die Ergebnisse addieren, bzw x+y und dann in eine Gleichung. Aber wie mache ich das ? Steh grad etwas auf dem Schlauch.

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eddiefox 03.11.2016, 19:38
@Marvib16

Hallo,

f : ℤ[i] → ℤ[i] mit a+ib → a-ib ist ein Ringhomomorphismus,
wenn für alle p, p' ∈ ℤ[i] gilt:

f(p+p') = f(p) + f(p')   und   f(p*p') = f(p)*f(p')

Du musst überprüfen, ob diese beiden Gleichungen wahr sind.

Also setze p=a+ib, p'=a'+ib' und rechne das nach :

f(p+p') = f(a+ib + a'+ib') = f((a+a')+i(b+b')) = (a+a')-i(b+b')

f(p) + f(p') = a-ib + a'-ib' = (a+a') -i(b+b'),

f(p+p') stimmt also mit f(p) + f(p') überein.

Das gleiche noch für die Multiplikation, und das wars.

Gruss

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  Aufg a) Für die Addition ist das wie gesagt trivial. Es hindert dich aber auch niemand daran, |Z [ i ] in |C einzubetten bzw. als Teilmenge von |C aufzufassen. Dann nämlich ist Eulernotation zulässig

   z  =  r  exp  (  i  ß  )      (  1  )

   Deine Abbildung entspricht bekanntlich dem Übergang zum komplex Konjugierten. In der Form ( 1 ) lässt sich der Nachweis für die Multiplikation trivial erbringen.

   Zu b) du solltest mehr Reifen-Scheja-Skript lesen; Geheimtipp für  Algebra: Das beste von allen ist Otto Haupt.

    z1;2  :=  a1;2  +  b1;2   *  5  ^ 1/2    (  2  )

   z1 z2 = a1 a2 - 5 b1 b2 +   (  3a  )

   +  ( a1 b2 + b1 a2 )  i  sqr  (  5  )   (  3b  )

   Die Klammer in ( 3b ) vewrschwindet; wäre a1 = 0 , so müsste oBdA auch ( Beweis für Obdach Lose ) b1 = 0 . Dann könnte aber ( 3a ) nie 3 sein. Folglich dürfen wir in ( 3b ) dividieren:

    a1 / a2  =  -  b1 / b2    (  4a  )

   Ganz allgemein wäre ja noch denkbar, dass sich die linke Seite durch einen Faktor k1 kürzen lässt bzw. die rechte Seite durch k2. Die ausgekürzte Darstellung nenne ich ( c1 / c2 )

    a1  =  k1  c1  ;  a2  =  k1  c2    (  4b  )

    b1  =  -  k2  c1  ;  b2  =  k2  c2   (  4c  )

   ( 4bc ) einsetzen in ( 3a )

  Re ( z1 z2 ) = c1 c2 ( k1 ² + 5 k2 ² ) = 3  ( 5 )

   In ( 5 ) brettern wir aber auf einen widerspruch, da es sich um eine Gleichung zwischen ganzen Zahlen handelt. Als Kürzungsfaktoren müssten k1;2 > 0 . Gesetzt den minimal möglichen Fall k1;2 = 1 wäre die Klammer immer noch 6 . Es gibt keine ganze Zahl, mit der du 6 multiplizieren könntest, dass 3 raus kommt.

Marvib16 03.11.2016, 16:20

zu b) 

1. Was ist das Reifen-Scheja-Skript, habs gegoogled und nix dazu gefunden :D

2. Wie kommst du bei 3(a bzw. b) auf diese Gleichung?

Wenn ich z_1 und z_2 multipliziere komm ich auf (a_1 * a_2) + (a_1 * b_2 * sqrt(5)) + (b_1 * a_2 * sqrt(5)) + (b_1 * b_2 * 5).

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" Algebra " von  Hans-Jörg Reiffen/Günter Scheja/Udo Vetter bei:

  Bibliografisches Institut ; Hochschultaschenbücher Band 110

   Gerade in der Frage der unzerlegbaren und Primelemente so wie der F0;1;2-ringe gibt der sich päpstlicher als der Papst , wenn du etwa mit v.d. Waerden vergleichst.

   Dann allerdings in der Galoisteorie lässt seine Modernität ( leider ) schnell nach; für die Prüfung wich ich aus auf das Skript von Otto Haupt /
Göttingen ( und riskierte dafür in der Diplomprüfung mit meinem Prof einen Hand festen Krach. )

   Göttingen ist eben Welt Spitze.

   Geh doch zum Hugendubel; sollte mich wundern, wenn der kein Regal vier Etagen hoch mit algebra hat ( und noch eine Tasse Kaffee ... )

   Wie komme ich auf ( 3ab ) ? Junge das ist Grundwissen; pass auf, wie Multiplikation mit i wirkt:

           i  ²  =  (  -  1  )     (  2.1  )

   (  a  +  i  b  )  (  c  +  i  d  )  =  a  c  -  b  d  +  i  (  a  d  +  b  c  )    (  2.2  )

   Man kann sich diese Arbeit auch etwas übersichtlicher gestalten; Kopfnoten. Du weißt doch; Ordnung wird benotet. Du erwartest vier Terme; welche sind reell? Eine Kombination, wo beide Faktoren OHNE i sind und eine, wo beide MIT i sind. Dann zwei Terme " übwer Kreuz " , wo jeweils nur ein Faktor mit i befrachtet ist.

Hallo,

zu b) (Zerlegbarkeit) :

Fassen wir die Elemente von ℤ[-√5] als komplexe Zahlen
der Form a+b(√5)*i auf.

Nehmen wir an, für 3 gäbe es eine Zerlegung in ℤ[-√5] :

3 = p*q = ( a+b(√5)*i )*( c+d(√5)*i )

Bilden wir auf beiden Seiten das Quadrat des Absolutbetrages (in ℂ),
so erhalten wir

9 = (a²+5b²)(c²+5d²) mit a,b,c,d ∈ ℤ

Daraus folgt aber   b = d = 0   und damit   ac = 3

Dann gilt entweder p=+/-1 oder q=+/-1, i m Widerspruch zur Annahme.

(d.h. 3 = 1*3 oder 3 = (-1)*(-3) , was keine Zerlegung ist.)

Gruss

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