Frage zu einer Volumenaufgabe - Quadratisches Prisma

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1 Antwort

Mal ohne Rechnen: Die kleinstmögliche Oberfläche bei größtmöglichem Volumen ergibt hier einen Würfel, was heißt alle drei Seitenlängen sind gleichlang. Also muss am Ende rauskommen Seitenlänge=Höhe, und alle sind 1dm lang. Weil die dritte Wurzel aus 1 ist 1.

Ich nehme mal ein, ein quadratisches Prisma entspricht einem Quader, also ist V=abh (a,b,h sind die Seitenlängen/Höhe). Da du ein quadratisches Prisma hast, heißt das, dass die Grundfläche ein Quadrat ist (klar..eh), also zwei Seiten gleichlang sind. Also wird aus V=abh -> V=a²h, weil a=b.

a² ist das A in deiner Gleichung, aber da nach Seitenlängen gefragt ist, ist mir a² lieber, kannst aber auch mit [Wurzel aus A] rechnen. A ist der Flächeninhalt der Grundseite.

Die Oberfläche soll minimiert werden, also O --> min. Die Formel für die Oberfläche lautet allgemein O=2ab+2ah+2bh. Da a=b folgt O(a,h)=2a²+4ah

Beide Formeln setzt du jetzt zu einer zusammen, also du stellst entweder nach a oder h um und setzt gleich. Ob a oder h ist egal, bei richtigem Rechnen kommt das Gleiche raus. Also V=a²h ergibt h=V/a² und V=1dm also h=1/a²

Daraus folgt O(a)=2a²+4a(1/a²)=2a²+4*a^-1

Um Minima und Maxima zu finden, bildest du die erste Ableitung und setzt diese gleich Null. O'(a)=(4a³-4)/a², Null setzen, nach a Auflösen: a=1, und das in V=a²h eingesetzt ergibt h=1

Zauberfeechen 22.03.2012, 23:40

danke =) die erklärung war super, wird ausgezeichnet =)))

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