Frage zu den Ebenengleichungen

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Siehe Ellejolka. Das geht aber nicht unbedingt am schnellsten.


Eine Koordinatengleichung lässt sich immer ohne Aufwand als Normalenform schreiben:

ax +by +cz = d ⇔ (a b c) X = d,

wobei (a b c) und X = (x y z) Spaltenvektoren sind.


(a) Zwei Ebenen in Normalenfom sind identisch, wenn die Normalenvektoren kollinear sind ( = der eine durch Mutliplikation mit einem Skalar aus dem anderen hervorgeht) und sie einen Punkt gemeinsam haben.

. . .

(b) Eine Ebene E1 in Normalenform ist mit einer Ebene E2 in Normalenform identisch, wenn das Skalarprodukt beider Richtungsvektoren von E1 mit dem Normalenvektor von E2 null ergibt und E1 und E2 einen Punkt gemeinsam haben.

. . .

(c) Eine Ebene in Parameterform mit den Richtungsvektoren u, v und eine Ebene in Parameterform mit den Richtungsvektoren u', v' sind identisch, wenn gilt:

u,v,u' und u,v,v' sind linear abhängig, oder auch wenn gilt:

u,u',v' und v,u',v' sind linear abhängig,

und die Ebenen einen Punkt gemeinsam haben. In vielen Fällen ist aber wohl statt der umständichen Prüfung der linearen Abhängigkeit mit Gleichungssystem praktischer, einen Normalenvektor für einer der beiden Ebenen mit Kreuzprodukt ( = vektoriellem Vektorprodukt) zu berechnen und wie in b) vorzugehen.

Unter (b) sollte das heißen:

"Eine Ebene E1 in Parameterform ist mit einer Ebene E2 in Normalenform identisch, wenn (...)"

0

bei Probe mit 3 Punkten bist du auf der sicheren Seite.

Du könntest beide Ebenen voneinander subtrahieren. Kommt 0 heraus, sind sie gleich.

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