Frage zu Betragsungleichungen (Mathe)

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2 Antworten

Allgemein ist Quadrieren keine gute Idee: Schon bei Gleichungen können sich "falsche" Lösungen dazugesellen, und bei Ungleichungen können auch "echte" Lösungen unter den Tisch fallen. Das heißt: vier Fallunterscheidungen sind der Normalfall (Vorzeichen linke & rechte Seite).

Einfacher wird es nur, wenn beide Seiten gleiches Vorzeichen haben (dann ist x->x² streng monoton). Das hast Du z.B. bei Ungleichungen der Form

  |f(x)| < g(x).

Hier reicht es, nach dem Quadrieren alle gefunden Lösungen mit g(x)≤0 wegzuwerfen.

Die Richtung des Vorzeichens ist dabei wichtig: Bei |f(x)| > g(x) muss — wie im allgemeinen Fall — eine Fallunterscheidung her. Dabei kann man zwischen zwei Wegen wählen und entweder f(x) auf ≥0 bzw. <0 untersuchen (dann knackt man den Betrag) oder g(x) (zum Quadrieren).

P.S.: Ist f(x) komplex, scheidet die Fallunterscheidung f(x)≥0 bzw. <0 natürlich aus. Hier bleibt nur das Quadrieren. Beachte aber, dass |f(z)|² ≠ z².

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Bei komplexen Zahlen hilft quadrieren auch nicht, um auf eine reell-positive Größe zu kommen.

Bei reellen Zahlen kann man vermutlich immer die Betragszeichen durch Quadrieren entfernen, allerdings verschwindet dann die Fallunterscheidung nicht, sondern verschiebt sich in die möglichen Wurzeln - es gibt ja immer 2 davon.

Einfaches Beispiel:

|a| < -2

Die Lösungsmenge ist leer. Quadrieren ergibt aber a² < 4. Die Probe ist also - wenigstens beim Quadrieren - unerlässlich.

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Kommentar von ralphdieter
01.02.2016, 08:34

Ungleichungen und komplexe Zahlen? Ich glaube, Du solltest Deinen ersten Satz etwas - ähm - umformulieren :-)

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