Frage zu aussagenlogischen Formeln

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2 Antworten

Also, ich verstehe Deine Frage nicht ....

Aus allen Formelmengen lassen sich ja schon mal alle Tautologien folgern. Und das sind ja schon (abzählbar) unendlich viele. Also lassen sich aus allen Formelmengen gleich viele Formeln folgern (da es keine überabzählbare Formelmengen gibt).

Wie kommst Du darauf, dass sich aus kleineren Mengen mehr folgern lässt?

fragilerfragand 28.10.2012, 17:43

Okay, es geht mir weniger um die Anzahl, sondern mehr, ob sich eine bestimmte Formel, die sich aus der kleineren Formelmenge (ja, also die Teilmenge der größeren ist) immer auch aus der Obermenge folgern lässt. Ich hatte im Kopf, dass das irgendwie kontraintuitiv war. Im Versuch mir das mit Wahrheitstabellen zu veranschaulichen, sieht man, dass mit jeder weiteren Formel, die unter gleicher Belegung eine Eins hat ( also Modell ist), die Zahl der noch möglichen folgerbaren Formeln sinkt, da je mehr Belegungen in der Formelmenge zu Modellen werden, desto mehr Einsen in der gefolgerten Formel stehen MÜSSEN – eine Nullwahl Möglichkeit fällt also weg. Wenn das richtig ist: geht das kürzer und präziser auszudrücken?

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HajoKeffer 28.10.2012, 18:01
@fragilerfragand

Also es stimmt, dass wenn eine Menge A Teilmenge einer Menge B ist, dann alle Formeln, die sich aus A folgern lassen, sich auch aus B folgern lassen. Es kann aber sein, dass sich aus B Formeln folgern lassen, die sich aus A nicht folgern lassen. Diese Eigentschaft heißt übrigens Monotonie.

Schau Dir jetzt noch mal Deine ursprüngliche Frage an, da steht's glaube ich gerade umgekehrt. Mit "mehr" oder "weniger" kommt man da jedoch sowieso nicht weiter, weil's immer unendlich viele sind.

Eine Aussage p folgt aus einer Menge A, wenn alle Modelle, die A erfüllen, p wahr machen. Sei B nun wie oben Obermenge von A. Es gilt nun der Satz, dass, wenn ein Modell B erfüllt, es auch A erfüllt. Dies muss gelten, da ja alle Formeln von B erfüllt werden und damit eben auch alle von A. Damit ist aber auch klar, dass ein Modell von B die Aussage p ebenfalls wahr machen muss, da es ja auch bereits ein Modell von A ist. p folgt damit auch aus B.

So kann man sich den genannten Satz klar machen.

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Okay ich bin mir jetzt nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe, aber ich würde eher sagen, es ist umgekehrt:

Beispiel: Du hast z.B: die (eine) Aussage:

x ist eine ganze Zahl.

Daraus kannst du schonmal folgern, dass x eine rationale, Zahl und eine reelle Zahl ist. Nun nimmst du noch eine zweite Aussage hinzu:

x^2 = 1

Aus den beiden Aussagen zusammen erhälst du nicht nur die oben genannten Folgerungen, sondern noch mehr. Z.B. dass der Betrag von x gleich 1 ist oder dass x nicht 0 ist usw. man kann noch vieles daraus herleiten. Jetzt nimm noch eine dritte Aussage hinzu:

x ist positiv.

Aus allen drei Aussagen kannst du natürlich wieder alles obige folgern, aber außerdem auch: x=1. Und damit z.B. auch x+1=2 und noch vieles mehr, was du vorhin nicht folgern konntest.

Allgemein gilt also: Je mehr Aussagen du hinzunimmst, desto mehr kannst du aus ihnen auch folgern. Eigentlich logisch. War das deine Frage?

fragilerfragand 28.10.2012, 17:47

Ich hab das irgendwie blöde formuliert, tut mir Leid. Es geht mir, um das nochmal ganz klar zu sagen, weniger um die Anzahl der Formeln, sondern mehr um die Belegungsmöglichkeiten, die die gefolgerten Formeln annehmen können.

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