Frage Mathe Gruppentheorie Gruppen/untergruppen?

 - (Mathe, Mathematik)

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Z_28 enthält die Elemente {0,...,27} und es wird modulo gerechnet (genauer: Z_28 enthält die Restklassen usw., aber ich kürze das hier mal).

Die Einheiten sind dabei die Elemente bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente, und das sind genau die, die teilerfremd zu 28 sind, d. h.

Z_28* = {1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27}

Z_28* ist eine Gruppe mit 12 Elementen, sie kann also Untergruppe mit 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Elementen haben. Du musst jetzt prüfen, welche Untergruppen von welchen Elemente erzeugt werden und dann schauen, ob für eines der Elemente die erzeugte Untergruppe die ganze Gruppe ist. Dabei reicht es in diesem Fall zu zeigen, ob die von einem Element erzeugte Untergruppe mindestens 6 von e verschiedene Elemente enthält (dann dann muss sie 12 Elemente enthalten und damit die ganze Gruppe umfassen):

<1> = {1}, das ist natürlich nicht die ganze Gruppe.

<3> = {3,3^2, 3^3, ...} = {3,9,27,81, 243, 729,....} = {3,9,27,25,19,1,3,9,...} (im letzten Schritt kommt das Modulorechnen zum Tragen), 3 erzeugt also eine sechselementige Untergruppe, kommt also nicht also erzeugendes Element für die ganze Gruppe in Frage

<5> = {5, 5^2, 5^3, ...} = {5,25, 125, 625, 3125, 15775, ...}= {5,25,13,9,17,1,...}

Auch 5 kommt nicht in Frage.

So rechnest du dann weiter, bis du entweder ein Element gefunden hast, das die ganze Gruppe erzeugt oder gezeigt hast, dass alle Elemente echt kleinere Untergruppe erzeugen.

Eigentlich musst du ja genau diese Rechnungen bereits durchführen, um die Ordnung dieser Elemente zu bestimmen - dann ist die Antwort: Die Gruppe ist zyklisch, wenn sie ein Element besitzen, dessen Ordnung mit der Gruppenordnung übereinstimmt, wenn du hier also ein Element mit der Ordnung 12 gefunden hast.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Vielen vielen Dank, das hat sehr geholfen

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Eine Gruppe ist zyklisch erzeugt, wenn sie ein Element enthält, sodass jedes Element der Gruppe eine Potenz dieses Elementes ist. Das Sternchen bedeutet, dass es sich um eine Einheitsgruppe handelt.

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