Frage betrifft eine Formel ich bin am verzweifeln! Es geht um die Berechnung der Fläche von der Koch Kurve/kochschen Kurve. Versteht jemand die Herleitung?

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1 Antwort

Ich habe eine schlechte und eine gute Nachricht:

  • Ohne geometrische Reihe kommst Du nicht auf die Fläche.
  • Die geometrische Reihe ist die einfachste aller Potenzreihen, denn alle ihre Koeffizienten (Vorfaktoren, die noch mit der Potenz multipliziert werden müssen), sind 1 (was dasselbe heißt wie „es gibt keine“). Sie konvergiert (d.h. es kommt was Endliches raus) genau dann, wenn die Variable x im Ausdruck ∑ₙxⁿ einen kleineren Betrag hat als 1. Das ist natürlich klar, denn bei unendlichen Reihen besteht nur dann überhaupt eine Chance, dass sie konvergieren, wenn die Summanden oder Glieder wenigstens immer kleiner werden, betragsmäßig natürlich.

Die folgende Beziehung kann man sich herleiten, aber auch ganz gut merken:

(1) ∑_[n=0]^{∞} x^n = 1 + x + x² + x³ + … = 1/(1 – x)
(2) ∑_[n=k]^{∞} x^n = x + x² + x³ + x⁴ + … = x^k/(1 – x)

ZENON von Elea war das noch nicht klar, dass so eine unendliche Reihe etwas Endliches ergeben kann, deshalb erkannte er seinen Denkfehler bei seinem berühmten Paradoxon von Achill und der Schildkröte nicht.
Andererseits hätte er das erkennen können, denn er hatte selbst die Strecke des Vorsprungs der Schildkröte gedanklich unendlich oft unterteilt, erst die ganze Strecke in zwei Hälften, dann deren zweite Hälfte in zwei Hälften usw.., heraus kommt die Länge der Strecke mal einer geometrischen Reihe vom Typ (2) in ½.

Wenn eine richtige geometrische Reihenfolge erst ab dem 2.Schritt zustande kommt, musst Du für k 2 einsetzen und den Rest aus den ersten Schritten addieren. Das musst Du dann auf die Schneeflocke anwenden.

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