Fourier-Analyse

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1 Antwort

Naja, zumindest ein Anstz oder sowas wäre jetzt schon ganz nett gewesen ...

Zuerst mal die Behauptung "von rechts nach links", also wenn a_ n* = a_ -n

Dafür einfach den Ausdruck für f(t) (die Summe) aufschreiben und jetzt in Real- und Imaginärteil ausplitten, also a=Re(a)+i* Im(a) und e^(inωt)=cos(nωt) + i* sin(nωt) einsetzen, dann so aufteilen, dass alle Real- und alle Imaginärteile zusammenstehen. Jetzt verwenden wir die Bahauptung (also a_ n* = a_ -n), woibei wir (ums etwas leichter zu machen) n mit -n substituieren, sodass gilt: a_ -n* = a_ n. Sprich: Wir geben jeweils ein an vor. Jetzt schauen wir, was mit f(t) passiert, wenn wir für n das negative (also -n) und dann für a den komplex konjugierten Wert einsetzen (Also Re(a) bleibt gleich Im(a) wird zu -Im(a) ) Wenn du das in die aufgesplittete Form einsetzt, dabei beachtest, dass sin(-φ)=-sin(φ) und cos(-φ)=cos(φ), dann siehst du, dass im Realteil alle Vorzeichenänderungen aufgehoben werden, während der Imaginärteil genau das negative Ergebnis annimmt. Damit filt: f(t)=f*(t).

Für die andere Richtung (von links nach rechts, also f(t)=f* (t)) nehmen wir einfach die Berechnungsformel für a- n, also das Integral. Dabei gehen wir ganz analog wie oben vor: Wir setzen für f(t) f* (t) ein. Weil wir gerne den gesamtenAusdruck im Integral komplex konjugiert hätten, müssen wir auch noch -n für n einsetzen. Dann einfach den gegebenen Zusammenhang ausnutzen, fertig.

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