Formeln umstellen hillfee

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Hallo, 

Du mußt Dir eine Formel wie eine Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befinden muß (jedenfalls dann, wenn die Formel ein Gleichheitszeichen enthält). Eine solche Formel hat zwei Seiten: Eine befindet sich links vom Gleichheitszeichen, die andere rechts. Beide Seiten würden, wenn man sie jeweils für sich berechnet, den gleichen Zahlenwert ergeben. Deshalb gibt es ein wichtiges Gebot beim Umstellen von Formeln, das da lautet: Verändere beide Seiten auf die gleiche Weise. Eine solche Veränderung besteht darin, daß Du eine Rechenoperation ausführst. Du addierst oder subtrahierst, Du multiplizierst oder dividierst, Du potenzierst oder Du ziehst eine Wurzel oder Du benutzt einen Logarithmus. (Der Rithmus, wo der Logiker immer mit muß). Ich weiß, das war ein ganz schlechter Kalauer.

Meistens stehst Du beim Umwandeln von Formeln vor dem Problem, daß ein bestimmter Wert, den Du berechnet haben möchtest, nicht allein auf seiner Seite der Gleichung steht, sondern mit anderen Zahlen, Buchstaben oder Termen verknüpft ist. Diese Verknüpfung gilt es durch eine geeignete Rechenoperation zu lösen. Geeignet ist eine Rechenoperation, die das Gegenteil von dem darstellt, wie der zu isolierende Wert mit anderen verknüpft ist. Ein einfaches Beispiel:

x+3=8. Wenn die +3 nicht da stünde, könntest Du den Wert für x direkt ablesen. Du mußt die 3 also loswerden. Aber wie? Indem Du überlegst, wie die 3 mit dem x verknüpft ist. Da steht ein +, es handelt sich also um eine Addition. Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion. Also rechnest Du:

x+3-3=8-3 Die beiden Dreien auf der linken Seite ergänzen sich zu 0 (sind also verschwunden), während aus der 8 rechts eine 5 wird. Schon haben wir das x enttarnt: x=5. Wenn anstatt x+3 dort x-3 steht, mußt Du die 3 auf beiden Seiten selbstverständlich addieren. (Wie gesagt: Immer das Gegenteil machen). Gleichungen lösen ist etwas für Personen mit einem starken Widerspruchsgeist.

Hecheln wir das Beispiel weiter durch:

3x=8 (Wenn zwischen einer Zahl und einer Variablen oder einem Klammerausdruck kein Rechenzeichen steht, bedeutet das immer * (die Multiplikation). Diesmal ist das x also durch eine Multiplikation mit der 3 verknüpft. Diesen Knoten können wir wieder durch das Gegenteil auflösen, nämlich die Division: (3:3)*x=8:3 (Wir haben wieder auf beiden Seiten durch 3 dividiert, weil unsere Waage sonst aus dem Gleichgewicht geriete.

Links bleibt 1x, also x übrig, rechts 8/3. Finito.

Weiter im Text: 

x³=8

Das Gegenteil vom Potenzieren ist das Wurzelziehen (wie heißt das eigentlich auf schlau? Radikalisieren? Nein, ich glaube, das ist etwas anderes.)

Also: x=3. Wurzel aus 8 (Ich weiß nicht, wie man hier ein Wurzelzeichen einfügt).

Aus 3/x=8 folgt x=3*8, also 24,

und jetzt noch komplizierter:

3^x=8 In diesem Fall ist x der Logarithmus der Basis 3 zur 8. Da Du auf keinem Taschenrechner Dreier-Logarithmen findest, kannst Du einen Trick benutzen. Du bemühst einfach die log-Taste (Zehner-Logarithmus) Deines Taschenrechners und tippst ein: log8:log3 und erhältst 1,892789261 oder ln8:ln3; in diesem Fall erhältst Du genau dasselbe Ergebnis. Wenn nicht, schmeiß Deinen Taschenrechner weg - man hat Dich übers Ohr gehauen.

Wenn Du dann rechnest: 3^1,892..., bekommst Du wieder 8 raus.

Mit diesem Wissen gewappnet, kannst Du Dich an eine richtige Formel wagen, z.B. an den berühmten Kosinussatz oder erweiterten Pythagoras, weil er für beliebige Dreiecke gilt:

a²=b²+c²-2bc*cos(alpha) Diese Formel bringt die 3 Seiten eines Dreiecks zu einem der Winkel in Beziehung. Ich kann, wenn ich zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel habe, die dritte Seite berechnen.

Wenn ich nun aber die Längen aller drei Seiten habe, aber den Winkel alpha nicht kenne, muß ich die Formel umstellen:

2bc*cos(alpha) ist durch Subtraktion an das b²+c² gebunden. Wir addieren also den ganzen Klumpen auf beiden Seiten und erhalten:

a²+2bc*cos(alpha)=b²+c²

Nun muß links das a² verschwinden. Das Erledigen wir durch eine Subtraktion:

2bc*cos(alpha)=b²+c²-a²

Nun noch durch 2bc dividieren:

cos(alpha)=(b²+c²-a²)/2bc  Feddisch.

Eine physikalische Formel gefällig? Die für die Federkonstante zum Beispiel? Bitte sehr:

N/m=kg/s²

Was brauchst Du? Den Wert für m?

Das n ist mit dem N durch eine Division verknüpft, also multiplitieren wir:

N=(m*kg)/s²

Nun kümmern wir uns um das s²:

N*s²=m*kg

Weg mit dem kg: 

(N+s²)/kg=m Das war's.

Auf welcher Seite der Gleichung der gesuchte Wert letztlich landet, ist letztlich egal. Gleich ist gleich.

Ich hoffe, Dir ein wenig auf die Sprünge geholfen zu haben.

Herzliche Grüße,

Willy

Corrigenda:

Das n ist mit dem N durch eine Division verknüpft, also multiplitieren wir:

Es muß natürlich heißen: das m ist mit dem N... und multiplizieren.

Willy

0

ad

"wie heißt das eigentlich auf schlau? Radikalisieren? Nein...":

Radizieren!  - vom lateinischen radix, -icis … die Wurzel (das "Radieschen" hat auch davon seinen deutschen Namen)

1
@Zwieferl

Weiß ich, aber ich konnte mir den Gag nicht verkneifen. Liebe Grüße, Willy

0

Das geht doch genauso wie sonst bei Gleichungen, indem man einzelne Terme von einer Seite auf die andere schiebt.

Kleiner Tipp: sieh zu, dass der Term, der deine Unbekannte enthält (also das, was du isolieren möchtest), auf der linken Seite steht; im Notfall Seiten vertauschen. (Das erleichtert die Übersicht!) Und dann nach der Reihenfolge:

  1. Addieren, Subtrahieren
  2. Multiplizieren, Dividieren
  3. Potenzieren, Wurzel ziehen, Logarithmieren

Klammern können jederzeit gemäß dem Distributivitätsgesetz aufgelöst werden. Ggf aber musst du dann nochmal mit 1 wieder anfangen.

Beispiel:

sin² α + cos² α = 1

Du willst α haben. Es steht glücklicherweise schon links.

sin² α = 1 - cos² α ....... | √

sin α = √(1 - cos² α) ....| arc sin

α = sin^-1 (√(1 - cos² α))         

Leider steht sin^-1 statt arc sin auf dem Rechner.

2
@Volens

Wie gibst du α in den Rechner ein, wenn du α nicht weißt???

Das Beispiel ist für das Zeigen von Umstellung nach α denkbar schlecht, weil dies eine für alle Werte von α gültige Aussage ist (pythaporäischer Lehrsatz!!!) → α kann also jede reelle Zahl annehmen

0

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