Formel = Gleichung?

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9 Antworten

Eine "Formel" ist eine Gleichung und wird willkürlich nützlich so genannt.

Eine Formel eine umgeformte Gleichung, wobei auf der einen Seite der Gleichung die abhängige Variable steht und auf der anderen Seite ein oder mehrere unabhängige Variablen stehen.

Beispiel Satz des Pythagoras (Gleichung):

c^2 = a^2 + b^2

Dies ist eine Gleichung, die zur Formel wird, wenn man sie nach "c" auflöst:

c = (a^2 + b^2)^-2

Tatsächlich ist das aber auch nur eine Sichtweise, die in diesem Fall die Berechnung der

Hypothenuse

in Vordergrund stellt. Es ist also eine Formel zur Berechnung der Hypothenuse.

Wenn man die

Ankathete

berechnen möchte sieht das so aus:

a = (c^2 - b^2)^-2

Für die

Gegenkathete

:

b = (c^2 - a^2)^-2

Ein anderes Beispiel ist die p-q-Formel. Die Basis ist wieder eine Gleichung:

x^2 + px + q = 0

Zur Erinnerung: Diese Gleichung wird u.a. verwendet um Extrempunkte einer Funktion 3. Grades zu finden.

Die p-q-Formel wird hergeleitet, indem man die o.g. Gleichung nach "x" auflöst. Dazu muss man die binomischen Regeln heranziehen und eine quadratische Ergänzung machen. Es gibt im Internet diverse Herleitungen, sogar auf Youtube. Letzendlich kommt da Folgendes heraus:

x1 = -(p/2) + ((p/2)^2 - q)^-2

x2 = -(p/2) - ((p/2)^2 - q)^-2

Die Basisgleichung ergibt potentiell keine eindeutige Lösung durch ihren quadratischen Charakter. Insofern purzeln hier zwei Formeln heraus.

Es gibt noch ein paar Eigenschaften von Formeln die kein muss sind, aber ihren Charakter als Abkürzung und merkenswerten Gleichungszustand kennzeichnen.

Dazu gehört zum Beispiel, dass man Formeln gerne eine Symmetrie gibt, falls sie keine haben, damit man sie sich besser merken kann.

Teilweise werden Formeln auch so angegeben, dass sie die dahinterliegende mathematische Struktur herauskristallisieren und damit womöglich besser verstanden werden.

Zusammenfassung:

Eine Formel ist eine fokussierte Gleichung. Der Fokus liegt dabei auf einer Variable von mindestens zweien, die in der Originalgleichung vorkommen.

Eine Formel ist eine Abkürzung, wenn man häufig das Gleiche rechnen muss.

Zudem werden Formeln gerne auch einprägsamer "gestaltet", so dass man das Wesen der einzelnen unabhängigen Variablen und ihren Einfluss auf das Ergebniss "sichtbar" macht.

Letzendlich ist Mathematik eine Sprache wie jede andere, nur mit der Maßgabe einer rigerosen Formalität. Insofern wäre in der Sprache Deutsch eine Gleichung: Jede Familie hat ein Haus. Aus dieser Gleichung kann man dann zwei Fragestellungen ableiten:

1. Welches Haus X gehört Familie Y?

2. Welche Familie Y lebt in Haus X?

Es geht also nur darum, dass man das, was man wissen möchte, hervorhebt.

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Die Verwendung von "gleich" in der Sprache unterscheidet sich sehr von dem in der Mathematik.

Jeder Indianer ist ein Mensch, aber nicht jeder Mensch ist ein Indianer.
So sind auch Formeln durchaus Gleichungen, aber Gleichungen bei Weitem nicht alle auch Formeln.

Es wäre schön, wenn man die Zeichen ∈ und ⊂ ebenfalls in der Sprache hätte, ohne sich gleich in Nebensätzen und längeren Erläuterungen verlieren zu müssen.

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Formel = "eine Gleichung, die ein allgemein gültiges Gesetz ausdrückt." (duden.de)

Entsprechendend gilt:

ist Formel => ist Gleichung

ABER nicht die Rückrichtung!!

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Kommentar von Zitronensorbet1
15.07.2017, 00:14

Klar ok, alle Formeln sind Gleichungen, aber nicht alle Gleichungen sind Formeln das Daumen-Finger-Prinzip also

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Kommentar von SlowPhil
15.07.2017, 06:58

Welche Gleichung ist denn keine Formel? Ich denke, es ist eher umgekehrt.

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Nein.
Formeln haben normalerweise die Form einer Gleichung, also sie enthalten normalerweise ein Gleichheitszeichen.

Aber nicht jede Gleichung ist eine Formel.

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Kommentar von Zitronensorbet1
15.07.2017, 00:14

aber jede Formel eine Gleichung?

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Kommentar von SlowPhil
15.07.2017, 06:57

Welche Gleichung ist denn keine Formel?

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Eine Formel im Sinne der Mathematik stellt prinzipiell ein Verhältnis verschiedener Größen (ob rein mathematisch, physikalisch oder auch ökonomisch) zueinander dar. Diese Verhältnisse bzw. Zusammenhänge können gesetzmäßigen Charakter haben, wie beispielsweise Naturgesetze oder die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Aber: Eine Formel ist nicht immer eine Gleichung. Eine Formel kann auch eine Ungleichung sein und ebenso gesetzmäßigen Charakter haben.

Ein Beispiel wäre das Shannon-Nyquist-Abtasttheorem, eine absolute Grundlage in der Informationstechnik:
f_Abtast > 2 * f_Bandbreite
(Dies besagt kurzgesagt, dass die Abtastfrequenz größer sein muss als die Bandbreite eines Signals, wenn man eine korrekte Rekonstruktion gewährleisten will.)

Formeln sind also Zusammenhänge verschiedener Dinge, welche mithilfe von mathematischen Symbolen ausgedrückt werden. In sehr vielen Fällen haben Formeln daher die Form einer Gleichung, aber eben nicht immer.

Abgesehen davon gibt es auch noch chemische Formeln, allerdings haben dich ja nur die mathematischen interessiert, daher höre ich an dieser Stelle auf. :)

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Ein Parallelogramm ist kein Quadrat aber ein Quadrat ein Parallelogramm. Kennst du dass? So in etwa ist es mit der Formel und Gleichungen.

Eine Formel kann man immer in der selben Situation verwenden zB

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Kommentar von helpful121
15.07.2017, 00:22

zur Berechnung vom Volumen braucht man die Volumenformel

V=l x b x h

Dass ist eine Formel.

Eine Gleichung wäre wenn du es in nur einer Situation verwenden kannst zB

f (x)= 3x ( x+ 2) - 3017

Eine Gleichung kann man nur dann benutzen wenn diese Begebenheiten da sind. Eine Formel kann man immer benutzen wenn ich zB das Volumen von einem Würfel ausrechnen will.

Hoffe hast es irgendwie verstanden wie ich es meine XD

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Es gibt auch Ungleichungen.

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Die Formel ist im Prinzip eine Lösung/Erklärung für ein mathematisches Problem.


Eine Gleichung ist eine Gleichung.

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Kommentar von Zitronensorbet1
15.07.2017, 00:12

Aber alle mathematische Formeln sind doch Gleichungen

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Eine Gleichung hat ein gleichheitszeichen in sich. Eine Formel nicht immer.

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Kommentar von helpful121
15.07.2017, 00:11

In der Mathematik eigentlich schon.

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Kommentar von Zitronensorbet1
15.07.2017, 00:11

nenne mir doch dann bitte mal eine ohne Gleichheitszeichen

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