Folgenden Term kürzen?

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5 Antworten

(x-y) / (√x-√y)                                                | Erweitern mit √x+√y

=[(x-y) * (√x+√y)] / [ (√x-√y) * √(x+√y) ]       | Nenner: 3. bin. Formel

=[ (x-y) * (√x+√y)] / (x-y)                               | Kürzen

=√x+√y


Das geht fast immer bei Aufgaben, in denen √a-√b bzw. √a+√b in einem Bruch vorhanden sind - eine Erweiterung mit dem jeweiligen 'Gegenpartner' der dritten binomischen Formeln sorgt dafür, dass zumindest dort, wo die Wurzeln ursprünglich vorkamen, diese Wurzeln verschwinden.

Es kann aber auch vorkommen, dass zwar Wurzeln verschwinden, aber auch hinzu kommen. Mit einem anderen Zähler würde man hier vielleicht am Ende nicht kürzen können.

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MagicianofCards 05.10.2017, 18:18

Das ist genius. Hab es mit Erweitern versucht, aber halt nicht mit dem Gegenpartner. Danke ^^

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MagicianofCards 05.10.2017, 18:28

Kann Ich dich noch was fragen? (Ich tus jetzt mal kackendreist. Musst ja nicht unbedingt antworten ;)

Ich habe folgende Ungleichung gegeben:

2^x >= 16x^3

Man soll nun das kleinste x finden ab welchem gilt, dass alle nachfolgenden x Werte die Ungleichung ebenfalls erfüllen. (Vor dem kleinsten x gibts nämlich noch eins, dass relativ klein ist, aber nach welchem es wieder x Werte gibt, die sie nicht erfüllen).

Ich hab ein bisschen umgeformt und bin z.B. bei Sachen, wie:

- 3 * log2(x) + x <= 4

gelandet. Das Ziel sollte es eigentlich sein, es ohne Taschenrechner zu lösen. Siehst du da einen Weg?

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MeRoXas 05.10.2017, 19:03
@MagicianofCards

Auf herkömmlichen Wege nicht lösbar. Das geht über die Lambert-W-Funktion. Da musst du leider wohl näherungsweise heran. Für x<=0.439 gilt 2^x>=16x³ schon mal.

Ab x>0.439 ist dann vorerst 16x³ größer. 2^x holt 16x³ genau ab x>=16 wieder ein.

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(x-y)/(sqrt(x)-sqrt(y))     | x durch (sqrt(x))² ersetzen. analog für y

=  ((sqrt(x))²-(sqrt(y))² /(sqrt(x)-sqrt(y))      |  3. Binom: a²-b² = (a+b) * (a - b)  

= (sqrt(x)+sqrt(y)) * ((sqrt(x)-sqrt(y)) / ((sqrt(x)-sqrt(y)) 

Und jetzt solltest Du selbst weiterkommen. :)

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(x - y) / (√x - √y)

Die dritte Binimische Regel gibt erstmals die Möglichkeit, jede beliebige Diffenrenz zu faktorisieren, denn          (√x + √y) (√x - √y) = x - y

Den obigen Term kannst du also auflösen:

((√x + √y) (√x - √y)) / (√x - √y) =  √x + √y

weil sich die andere Klammer gegen den Nenner kürzen lässt.

Die Binomischen Regeln rückwärts sind sehr oft eine Möglichkeit der Faktorisierung. Man muss sie nur erst mal erkennen können:

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

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Ich sehe hier auch nur, dass nach dem Quadrieren oben und unten (fast) die gleiche 2. Binomische Formel steht, nur die Mittelglieder oben mit -2xy und unten mit -2W(xy) sind verschieden! Ist aber keine Vereinfachung!

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BudunTsch 07.10.2017, 14:55

x = (√x)² , daher:

(x - y) / (√x - √y) = ((√x)² - (√y)²) / (√x - √y) =

(√x + √y)(√x - √y) / (√x - √y) = √x + √y

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(x-y)*(x-y)^(-0,5) = (x-y)^0,5

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