Fläsche zwichen biquadratischen Funktionen berechnen.

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3 Antworten

Das geht auch ein bisschen anders. Mit dem Nullsetzen musst du etwas warten. Zuerst musst du die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren. Erst diese Differenzgleichung kann gleich 0 gesetzt werden, denn die Schnittpunkte der beiden Kurven sind die Nullstellen der Differenzkurve.

Diese NS benötigst du zum Integrieren, nichts anderes ist ja die Bildung von F(x). Denn du darfst jetzt nur von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, weil sich sonst Flächen voneinander subtrahieren würden; und das willst du ja nicht. Stattdessen musst du am Ende die Absolutbeträge der Teilflächen addieren.

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Kommentar von Volens
30.08.2013, 17:52

Wo ist da eigentlich eine biquadratische Funktion?. Ich sehe kein x ^ 4.

x³ nennt man kubisch.

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  • Ich kann dir folgen, was die Differenzenfunktion

f(x) - g(x) = h(x) = x³-4x²-31x+70;

angeht, auch deine Nullstellen sind richtig.

  • Das Folgende ist unnötig aufwändig, weil du f(x) und und g(x) getrennt integrierst. Außerdem entsteht Vorzeichensalat, weil du nicht beachtest, wann die Differenzenfunktion positiv und wann sie negativ ist. Es ist keineswegs so, dass einfach alle Teilsummen positiv zu Buche schlagen.

Du rechnest letztlich

( 40 -(-143,75) ) + (96,25 - 40) + | -31,33 - 270 | + ( 222 - (-31,33) )

richtig wäre aber (abgesehen von Rechenfehlern, die wohl dazukommen):

(40 - (-31,33)) - (143,75 - (-270)) + | (96,25 - 222) - (40 - (-31,33)) |


Das Problem ensteht gar nicht erst, wenn du konsequent mit der Differenzenfunktion h(x) weiterechnest.

Das entspricht grundsätzlich auch dem Verfahren im Kommentar von kreisfoermig. Nur weiß ich absolut nicht, warum kreisfoermig den Faktor 2 π aus der (nicht gefragten) Volumenbestimmung bei der Flächenbestimmung noch verwendet. Ich denke, dass der Faktro zuviel ist; mein Ergebnis ist das (1 / 2 π)-fache von kreisfoermigs Ergebnis.


Rechnung:

  • Eine Stammfunktion von h(x) ist:

H(x) = (1/4)x^4 -(4/3)x³ -(31/2)x² +70x

  • Die von f(x) und g(x) zwischen der ersten und der zweiten Nullstelle von h(x)eingeschlossene Fläche ist :

H(2) - H(-5) = 215/3 - (-4975/12) = 1945 / 4 = 486,25;

wegen des positiven Vorzeichens ist h(x) im Intervall (-5; 2) positiv.

  • Die von f(x) und g(x) zwischen der zweiten und der dritten Nullstelle von h(x) eingeschlossene Fläche ist :

H(7) - H(2) = -1519/12 - 215/3 = -793/4 = -198,25

wegen des negativen Vorzeichens ist h(x) im Intervall (2, 7) negativ..

  • Die gesamte eingeschlossene Fläche ist die Summe der Beträge der Integrale , also

486,25 + | -198,25 | = 684,5 FE

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Kommentar von kreisfoermig
02.09.2013, 23:13

Ach stimmt, irgendwie habe ich mal das Wort „Fläsche“ im Titel gelesen, und blieb dann fortan im Kopf „Flasche“ und hinzu Rotationskörper (mit der Vorstellung einer Flasche als Denkanstoß). Meine Berechnungen betreffen die Fläche eines Rotationskörper der Kurve.

Das Problem, wie du es richtig betrachtet hast, betrifft ja lediglich die zwischen den Kurven enthaltene Fläche.

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  • f : x |—> x³ – 3x² – 18x + 40
  • g : x |—> x² + 13x – 30

Schritt 1. f(x) = g(x)

  • <==> f(x) – g(x) = 0
  • <==> [x³ – 3x² – 18x + 40] – [x² + 13x – 30] = 0
  • <==> x³ – 4x² – 31x + 70 = 0
  • Nullstellen: {-5; 2; 7} sind richtig
  • also <==> x ∈ {-5; 2; 7}

Schritt 2. VOLUMEN berechnen:

  • V = π ∫ [x : -5≤x≤7] von |f–g|² dx
    • = π ∫ [x : -5≤x≤7] von (f–g)² dx
    • = π ∫ [x : -5≤x≤7] von (x³ – 4x² – 31x + 70)² dx
    • = 1783296π / 35
    • = 160068,27 Einheiten

(= 1,60 L wenn Längeneinheit = 1 mm)

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Kommentar von kreisfoermig
30.08.2013, 17:51

Ach! Du willst wirklich den Flächeninhalt wissen:

Schritt 3. Flächeninhalt:

  • S = 2π ∫ [x : -5≤x≤7] von |f–g| dx
    • = 2π (|∫ [x : -5≤x≤2] von f–g dx| + |∫ [x : 2≤x≤7] von f–g dx|)
    • = 4103π / 3
    • = 4296,65 Einheiten
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